Геометриялык жолдор жана калың бадалдар

Бул макаланы жазып жатып, мен Ян Пиетрзактын абдан эски ырын эстедим, ал Pod Egidą кабаресинде өзүнүн сатиралык ишмердүүлүгүнө чейин ырдаган, Польша Эл Республикасында коопсуздук клапаны катары таанылган; системанын парадоксторуна чынчылдык менен күлүүгө болот. Бул ырында автор саясаттан алыс болгусу келгендерди шылдыңдап, гезиттен радиону өчүрүп, социалисттик саясий катышууну сунуш кылган. "Мектепке кайра окууга баруу жакшы", - деп XNUMX жаштагы Петшак ырдаган.

Мен окууга кайра барам. Щепан Еленскийдин (1881-1949) «Лилавати» китебин кайра (биринчи жолу эмес) окуп жатам. Бир нече окурмандар үчүн сөздүн өзү бир нерсени айтып турат. Бул Бхаскара (1114-1185) деп аталган атактуу индус математикинин кызынын аты Акария же алгебра боюнча китебин ушундай ат менен атаган акылман. Кийинчерээк Лилавати өзү атактуу математик жана философ болуп калган. Башка булактарга ылайык, ал китепти өзү жазган.

Щепан Еленский математика боюнча китебине (биринчи басылышы, 1926-ж.) ушундай аталышты берген. Бул китепти математикалык эмгек деп атоого да кыйын болушу мүмкүн - ал баш катырмалардын жыйындысы болгон жана негизинен француз булактарынан кайра жазылган (азыркы мааниде автордук укуктар болгон эмес). Кандай болгон күндө да, көп жылдар бою ал математика боюнча бирден-бир популярдуу поляк китеби болгон - кийинчерээк ага Желенскийдин экинчи китеби «Пифагордун таттуулары» кошулган. Ошентип, математикага кызыккан жаштардын (мен бир кездегидей болгон) эч нерсеси жок болчу...

экинчи жагынан, «Лилавати» дээрлик жатка билиши керек эле... А-а, болгон учурлар болгон... Алардын эң чоң артыкчылыгы мен... анда өспүрүм болчумун. Бүгүн билимдүү математиктин көз карашы менен Лилаватиге таптакыр башкача көз караш менен карайм – балким, Шпигласова Пшеленчке барчу жолдун бурулушундагы альпинист сыяктуу. Бири да, экинчиси да өзүнүн сүйкүмдүүлүгүн жоготпойт... Өзүнүн мүнөздүү стили менен жеке турмушунда улуттук идея деп аталган нерселерди туу тутуп жүргөн Щепан Еленский алгы сөзүндө мындай деп жазат.

Улуттук өзгөчөлүктөрдү сүрөттөөгө токтолбой эле айта кетейин, токсон жыл өтсө да Еленскийдин математика жөнүндөгү сөздөрү актуалдуулугун жоготкон жок. Математика ойлонууга үйрөтөт. Бул факт. Биз сизге башкача, жөнөкөй жана кооз ой жүгүртүүгө үйрөтө алабызбы? Балким. Бул жөн эле... биз дагы эле кыла албайбыз. Математикадан окугусу келбеген окуучуларыма бул да алардын интеллектинин сыналышы экенин түшүндүрөм. Эгер сиз чындап эле жөнөкөй математика теориясын үйрөнө албасаңыз, анда... балким сиздин акыл жөндөмүңүз экөөбүз тең каалагандан да начардыр...?

Кумдагы белгилер

Ал эми мына "Лилаватидеги" биринчи аңгеме - француз философу Жозеф де Майстр (1753-1821) сүрөттөгөн окуя.

Кыйраган кемеден чыккан матросту толкундар ээн жээкке ыргытып жиберип, аны адам жашабаган деп эсептеген. Бир маалда жээктеги кумда кимдир бирөөнүн алдына тартылган геометриялык фигуранын изин көрдү. Мына ошондо ал арал ээн эмес экенин түшүндү!

де Местринин сезун келтирип, Еленский мындай деп жазат: геометриялык фигураБул бактысыз, кырсыкка учураган кокустук үчүн тилсиз жоо болмок, бирок ал ага бир караганда пропорцияны жана санды көрсөттү жана бул жарык адамдан кабар берди. Тарых үчүн ушунчалык көп.

Көңүл буруңуз, деңизчи ушундай эле реакцияны жаратат, мисалы, К тамгасын тартуу менен, ... жана адамдын катышуусунун башка издери. Бул жерде геометрия идеалдаштырылган.

Бирок астроном Камилла Фламмарион (1847-1925) геометриянын жардамы менен цивилизациялар бири-бири менен алыстан саламдашууну сунуш кылган. Ал мындан бирден-бир туура жана мүмкүн болгон байланыш аракетин көрдү. Андай марстыктарга Пифагор үч бурчтуктарын көрсөтөлү... алар бизге Фалес менен жооп беришет, биз аларга вьета үлгүлөрү менен жооп беребиз, алардын айланасы үч бурчтукка туура келет, ошентип достук башталды...

Жюль Верн, Станислав Лем сыяктуу жазуучулар бул ойго кайра кайтышкан. Ал эми 1972-жылы геометриялык (жана гана эмес) оймо-чиймелери бар плиткалар дагы эле космос мейкиндигин кесип өткөн Pioneer зондунун бортунда жайгаштырылган, азыр бизден дээрлик 140 астрономиялык бирдик (1 I – Жердин Жерден орточо алыстыгы) . Күн, б.а., болжол менен 149 миллион км). Плитканы жарым-жартылай астроном Фрэнк Дрейк, Жерден тышкаркы цивилизациялардын саны боюнча талаштуу эреженин жаратуучусу иштеп чыккан.

Геометрия укмуш. Бул илимдин келип чыгышы боюнча жалпы көз караш баарыбызга белгилүү. Биз (биз адамдар) эң пайдалуу максаттар үчүн жерди (жана кийинчерээк жерди) өлчөй баштадык. Аралыктарды аныктоо, түз сызыктарды тартуу, тик бурчтарды белгилөө жана көлөмдөрдү эсептөө бара-бара зарылчылыкка айланды. Демек, бардык нерсе геометрия («Жерди өлчөө»), демек, бардык математика ...

Бирок, илимдин тарыхынын бул ачык-айкын картинасы бир канча убакытка чейин бизди булут каптап турду. Анткени математика операциялык максаттар үчүн гана керек болсо, биз жөнөкөй теоремаларды далилдөө менен алектенмек эмеспиз. Бир нече тик бурчтуктарда гипотенузанын квадраттарынын суммасы гипотенузанын квадратына барабар экенин текшерип көргөндөн кийин, "Бул такыр эле туура болушу керек экенин көрүп жатасыз" деп айтууга болот. Эмне учун мындай формализм?

Өрүк пирогу даамдуу болушу керек, компьютердин программасы иштеши керек, машина иштеши керек. Эгерде мен бочканын сыйымдуулугун отуз жолу санасам, баары жайында болсо, анда эмнеге башка?

Ал ортодо, байыркы гректердин оюна кээ бир расмий далилдерди табуу керек.

Демек, математика Фалестен (б. з. ч. 625-547) башталат. Эмне үчүн деп ойлоно баштаган Милет болгон деп болжолдонууда. Акылдуу адамдарга бир нерсени көргөнү, бир нерсеге ынанганы аздык кылат. Алар далилдин зарылдыгын, божомолдон тезиске чейинки аргументтердин логикалык ырааттуулугун көрүшкөн.

Алар дагы көптү каалашкан. Физикалык кубулуштарды биринчи жолу Кудайдын кийлигишүүсүз, натуралисттик жол менен түшүндүрүүгө аракет кылган Фалес болсо керек. Европа философиясы табият философиясынан – физиканын артында турган нерседен (ошондуктан аты: метафизика) башталган. Бирок европалык онтологиянын жана натурфилософиянын пайдубалын пифагорчулар түптөгөн (Пифагор, б.з.ч. 580-500-ж.).

Ал Апеннин жарым аралынын түштүгүндөгү Кротон шаарында өз мектебин негиздеген – бүгүн аны секта деп атамакпыз. Илим (сөздүн азыркы маанисинде), мистика, дин жана фантазия баары бири-бири менен тыгыз байланышта. Томас Манн "Доктор Фауст" романында немис гимназиясында математика сабагын абдан сонун көрсөткөн. Мария Курецкая жана Витольд Вирпша которгон бул фрагментте мындай деп айтылат:

Чарльз ван Дорендин «Тарыхтын таңынан азыркы күнгө чейинки билимдин тарыхы» деген кызыктуу китебинде мен абдан кызыктуу көз карашты таптым. Главалардын биринде автор Пифагор мектебинин маанисин сүрөттөйт. Бөлүмдүн аталышы мени таң калтырды. Анда: «Математиканы ойлоп табуу: Пифагорчулар» деп жазылган.

Биз көбүнчө математикалык теориялар ачылып жатабы (мисалы, белгисиз жерлер) же ойлоп табылганбы (мисалы, мурда болбогон машиналар) деп талкуулайбыз. Кээ бир чыгармачыл математиктер өздөрүн изилдөөчүлөр, башкалары ойлоп табуучулар же дизайнерлер катары көрүшөт.

Бирок бул китептин автору жалпы эле математиканын ойлоп табуусу жөнүндө жазат.

Ашыкча сөздөн адашууга чейин

Бул узак киришүү бөлүгүнөн кийин мен эң башталышына өтөм. геометриягеометрияга ашыкча таянуу илимпозду кантип адаштырарын сүрөттөө. Иоганнес Кеплер физика жана астрономияда асман телолорунун кыймылынын үч мыйзамын ачуучу катары белгилүү. Биринчиден, Күн системасынын ар бир планетасы күндү эллиптикалык орбита боюнча айланып, анын очокторунун биринде күн болот. Экинчиден, белгилүү аралыкта Күндөн тартылган планетанын алдыңкы нуру бирдей талааларды тартат. Үчүнчүдөн, планетанын Күндүн айланасында айлануу мезгилинин квадратынын анын орбитанын жарым чоң огунун кубуна болгон катышы (б.а. Күндөн орточо аралык) Күн системасындагы бардык планеталар үчүн туруктуу.

Балким, бул үчүнчү мыйзам болгон - аны түзүү үчүн көптөгөн маалыматтарды жана эсептөөлөрдү талап кылган, бул Кеплерди планеталардын кыймылынын жана абалынын үлгүлөрүн издөөнү улантууга түрткү берген. Анын жаңы «ачылышынын» тарыхы абдан сабак болот. Байыркы убактан бери биз кадимки көп кырдууларга гана эмес, космосто алардын бешөө гана бар экенин көрсөткөн аргументтерге да суктанчубуз. Үч өлчөмдүү полиэдр, эгерде анын беттери бирдей регулярдуу көп бурчтуктар болсо жана ар бир чокусунда бирдей сандагы четтери болсо, регулярдуу деп аталат. Иллюстрациялай турган болсок, кадимки полиэдрдин ар бир бурчу "бирдей көрүнүшү" керек. Эң белгилүү көп жүздүү бул куб. Кадимки бутту баары көргөн.

Регулярдуу тетраэдр анча белгилүү эмес жана мектепте ал кадимки үч бурчтуу пирамида деп аталат. Бул пирамидага окшош. Калган үч үзгүлтүксүз көп кырдуулар анча белгилүү эмес. Кубдун четтеринин борборлорун бириктиргенде октаэдр пайда болот. Додекаэдр менен икосаэдр буга чейин шарларга окшош. Жумшак териден жасалгандыктан, алар казууга ыңгайлуу болмок. Беш Платондук катуу денеден башка эч кандай үзгүлтүксүз көп кырдуулар жок деген аргумент абдан жакшы. Биринчиден, биз түшүнөбүз, эгерде дене регулярдуу болсо, анда бирдей сандагы (q) бирдей нормалдуу көп бурчтуктар ар бир чокуда биригиши керек, булар p-бурчтары болсун. Эми биз нормалдуу көп бурчтукта кандай бурч экенин эстешибиз керек. Эгер кимдир бирөө мектептен эстебесе, биз сизге туура үлгүнү кантип табуу керектигин эскертебиз. Биз бурчка саякатка чыктык. Ар бир чокуда биз бир эле бурчтан бурабыз а. Көп бурчтукту айланып өтүп, баштапкы чекитке кайтып келгенде, биз p ушундай бурулуштарды жасап, жалпысынан 360 градуска бурдук.

Бирок α - бул биз эсептегибиз келген бурчтун 180 градус толуктоосу, демек

Биз нормалдуу көп бурчтуктун бурчунун формуласын таптык (математик мындай дейт: бурчтун өлчөмдөрү). Текшерип көрөлү: p = 3 үч бурчтукта а жок

Бул сыяктуу. Качан p = 4 (квадрат), анда

даражалары да жакшы.

Беш бурчтук үчүн эмне алабыз? Ошентип, ар бир p бирдей бурчтарга ээ q көп бурчтуктар болгондо эмне болот

 бир чокусунда төмөндөө градус? Эгерде ал тегиздикте болсо, анда бурч пайда болмок

градус жана 360 градустан ашпашы керек - анткени анда көп бурчтуктар бири-бирине дал келет.

Бирок бул көп бурчтуктар мейкиндикте кездешкендиктен, бурч толук бурчтан кичине болушу керек.

Мына ошондон баары келип чыккан теңсиздик:

Аны 180ге бөлгүлө, эки бөлүктү тең рге көбөйт, тартиби (p-2) (q-2) < 4. Андан кийин эмне болот? Келгиле, p жана q натурал сандар болушу керек экенин жана p > 2 (эмне үчүн? Ал эми p деген эмне?) жана ошондой эле q > 2 экенин билели. Эки натурал сандын көбөйтүндүсүн 4төн кичирейтүүнүн көптөгөн жолдору жок. алардын бардыгын тизмелейм. 1-таблицада.

Мен чиймелерди киргизбейм, бул фигураларды интернеттен ар ким көрө алат... Интернеттен... Лирикалык чегинүүдөн баш тартпайм – балким, бул жаш окурмандар үчүн кызыктуудур. 1970-жылы семинарда сөз сүйлөдүм. Тема кыйын экен. Даярданууга убактым аз болду, кечинде отурчумун. Негизги макала окуу үчүн гана болгон. Бул жер жайлуу, жумушчу атмосфера менен, жетиде жабылды. Анан колукту (азыр менин аялым) өзү мага макаланы толугу менен кайра жазып берүүнү сунуштады: он чакты басма бет. Мен аны көчүрүп алдым (жок, калем менен эмес, калемибиз да бар болчу), лекция ийгиликтүү өттү. Бүгүн мен эскирген бул басылманы табууга аракет кылдым. Жазуучунун аты гана эсимде... Интернетте издөөлөр көпкө... толук он беш мүнөткө созулду. Мен бул жөнүндө жылмайып, бир аз негизсиз өкүнүү менен ойлойм.

Биз кайра барабыз Кеплер жана геометрия. Сыягы, Платон бешинчи регулярдуу форманын болушун алдын ала айткан, анткени ага бүт дүйнөнү камтыган бириктирүүчү бир нерсе жок болчу. Балким, ошондуктан ал бир студентке (Theajtet) аны издөөнү буйругандыр. Кандай болгон болсо, ошондой болгон, ошонун негизинде додекаэдр ачылган. Платондун мындай мамилесин биз пантеизм деп атайбыз. Ньютонго чейин бардык илимпоздор аздыр-көптүр ага моюн сунушкан. Жогорку акыл-эстүү он сегизинчи кылымдан бери анын таасири кескин түрдө азайды, бирок биз баарыбыз ага тигил же бул жол менен моюн сунуп жатканыбыздан уялбашыбыз керек.

Кеплердин Күн системасын куруу концепциясында бардыгы туура болгон, эксперименталдык маалыматтар теория менен дал келген, теория логикалык жактан ырааттуу, абдан кооз... бирок таптакыр жалган. Анын убагында алты гана планета белгилүү болгон: Меркурий, Венера, Жер, Марс, Юпитер жана Сатурн. Эмне үчүн алты гана планета бар? — деп сурады Кеплер. Жана алардын Күндөн алыстыгын кайсы мыйзам ченемдүүлүк аныктайт? Ал бардыгы байланышта деп ойлогон, тиги геометрия жана космогония бири-бири менен тыгыз байланышта. Байыркы гректердин жазууларынан ал беш гана туруктуу көп жүздүү бар экенин билген. Ал алты орбитанын ортосунда беш боштук бар экенин көрдү. Демек, бул бош мейкиндиктердин ар бири кандайдыр бир кадимки көп жактууларга туура келиши мүмкүнбү?

Бир нече жылдык байкоолордон жана теориялык иштерден кийин ал төмөнкү теорияны түзүп, анын жардамы менен орбиталардын өлчөмдөрүн так эсептеп, 1596-жылы жарык көргөн "Mysterium Cosmographicum" китебинде келтирген: Гигант сфераны элестетиңиз, анын диаметри Меркурийдин Күндүн айланасындагы жылдык кыймылындагы орбитасынын диаметри. Анда бул сферада нормалдуу октаэдр, анын үстүндө шар, анын үстүндө икосаэдр, анын үстүндө кайрадан шар, анын үстүндө додекаэдр, анын үстүндө дагы бир сфера, анын үстүндө тетраэдр, анан дагы бир шар, куб бар экенин элестетиңиз. жана, акырында, бул кубда шар сүрөттөлөт.

Кеплер бул ырааттуу чөйрөлөрдүн диаметрлери башка планеталардын: Меркурий, Венера, Жер, Марс, Юпитер жана Сатурндун орбиталарынын диаметри деген жыйынтыкка келген. Теория абдан так болуп көрүндү. Тилекке каршы, бул эксперименталдык маалыматтар менен дал келди. Ал эми математикалык теориянын тууралыгына анын эксперименталдык маалыматтарга же байкоо маалыматтарына, өзгөчө “асмандан алынган” маалыматтарга дал келүүсүнөн артык кандай далил бар? Мен бул эсептөөлөрдү 2-таблицада жыйынтыктайм. Анда Кеплер эмне кылды? Мен аракет кылып көрдүм жана ал ишке ашканга чейин, башкача айтканда, конфигурация (шарлардын тартиби) жана алынган эсептөөлөр байкоо маалыматтары менен дал келгенге чейин аракет кылдым. Бул жерде заманбап Kepler сандар жана эсептөөлөр болуп саналат:

Теориянын кызыгуусуна берилип, асмандагы өлчөөлөр семинардын жымжырттыгында жасалган эсептөөлөр эмес, так эмес деп ишенүүгө болот. Тилекке каршы, бүгүнкү күндө биз кеминде тогуз планета бар экенин билебиз жана натыйжалардын бардык кокустуктары жөн гана кокустук. Өкүнүчтүү. Бул абдан сулуу болчу...