Эмне үчүн нөлгө бөлбөйбүз?
ыраазы
Окурмандар мен эмне үчүн бүтүндөй бир макаланы ушундай баналдык маселеге арнадым деп ойлошу мүмкүн? Себеп дегенде атын жамынып операция жасап жаткан студенттердин (!) укмуштуудай көптүгү. Жана студенттер гана эмес. Кээде мугалимдерди кармайм. Андай мугалимдердин окуучулары математикадан эмнени жасай алышат? Бул текстти жазууга дароо себеп нөлгө бөлүү кыйынчылык жараткан мугалим менен болгон баарлашуу болду ...
Нөл менен, ооба, эч нерседен баш тартуудан башка, анткени биз аны күнүмдүк жашоодо колдонуунун кереги жок. Биз нөл жумуртка үчүн дүкөнгө барбайбыз. "Бөлмөдө бир адам бар" дегени кандайдыр бир табигый угулат, ал эми "нөл адам" жасалма угулат. Тилчилер нөл тил системасынын сыртында деп айтышат.
Банктык эсептерде нөлсүз да жасай алабыз: жөн гана термометрдегидей эле оң жана терс маанилер үчүн кызыл жана көк түстөрдү колдонуңуз (температура үчүн оң сандар үчүн кызылды колдонуу табигый нерсе, ал эми банк эсептери үчүн аны колдонуңуз. тескери жол, анткени дебет эскертүүнү козгошу керек, ошондуктан кызыл түс абдан сунушталат).
Нөлдү натурал сан катары кошуу менен дифференциация маселесине токтолобуз эсептик сан od үй чарбасы. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. ичинде
сандын күчү ал турган жердин саны менен бирдей. Болбосо, ал 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. ырааттуулугунда.
Синглондуу топтомдордун саны экинчи орунда, эки элементи бар топтомдордун саны үчүнчү орунда ж.б.у.с. Эмне үчүн, мисалы, мелдештерде атлеттердин орундарын нөлдөн баштап санабай жатканыбызды түшүндүрүшүбүз керек. Анда биринчи орунду алган оюнчу күмүш медалга ээ болмок (алтын нөлдүн ээсине тийди) жана башкалар.Бир аз ушуга окшош жол-жобо футболдо колдонулган - Окурмандар "биринчи лига" дегенди " мыктыларды ээрчишет." ", жана нөл лига "жогорку лига" болууга чакырылган.
Кээде биз нөлдөн башташыбыз керек деген аргументтерди угуп калабыз, анткени бул IT тармагындагылар үчүн ыңгайлуу. Бул ойлорду улантып, километрдин аныктамасын өзгөртүү керек - ал 1024 м болушу керек, анткени бул бир килобайттагы байттардын саны (мен информатика илимпоздоруна белгилүү болгон тамашага кайрылайын: «Биринчи курстун ортосунда кандай айырма бар? информатика факультетинин студенти жана ушул факультеттин 1000-курсунун студенти? килобайт 1024 килобайт, акыркысы XNUMX метр деген километр»)!
Буга чейин олуттуу кабыл алынышы керек болгон дагы бир көз караш бул: биз ар дайым нөлдөн өлчөөбүз! Сызгычтан, үй-тиричилик таразасынан, ал тургай сааттан да каалаган таразаны кароо жетиштүү. Биз нөлдөн баштап өлчөгөндүктөн жана эсептөөнү өлчөмсүз бирдик менен өлчөө катары түшүнсө болот, анда биз нөлдөн баштап санашыбыз керек.
Бул жөнөкөй маселе, бирок...
Келгиле, жалпы ой жүгүртүүнү таштап, нөлгө бөлүүгө кайтып келели. Маселе жөнөкөй жана эгер ал болбогондо жөнөкөй болмок... анда эмне? Ойлонуп аракет кылалы. Бул канча болушу мүмкүн - бир нөлгө бөлүнөт? Келгиле, карап көрөлү: 1/0 = x. Эки тарапты тең сол тараптын бөлүүчүсүнө көбөйтүңүз.
Биз 1=0 алабыз. Бир нерсе болдубу! Эмне болду? Ой ойлон! Биримдиктин жана нөлдүн коэффициенти бар деген божомол карама-каршылыкка алып келет. Ал эми бирөө нөлгө бөлүнбөсө, анда башка сан болушу мүмкүн. Эгерде, Окурман, сиз далыны куушуруп, автор (б.а. мен) эмне үчүн мындай жалкоолуктарды жазып жатат деп таң кала турган болсоңуз, анда... Абдан кубанычтамын!
0/0 = 0 формуласы өжөр негизде корголушу мүмкүн, бирок ал санды өзүнө бөлгөндөгү натыйжа бирге барабар деген эрежеге карама-каршы келет. Эсептөөдөгү 0/0, °/° жана ушул сыяктуу белгилер таптакыр, бирок такыр башкача. Алар кандайдыр бир санды билдирбейт, бирок белгилүү бир түрлөрдүн белгилүү ырааттуулугу үчүн символикалык белгилер.
Электротехника китебинен мен кызыктуу салыштыруу таптым: нөлгө бөлүү жогорку чыңалуудагы электр энергиясы сыяктуу эле коркунучтуу. Бул нормалдуу көрүнүш: Ом мыйзамы чыңалуунун каршылыкка болгон катышы токко барабар экенин айтат: V = U / R. Эгерде каршылык нөл болсо, теориялык жактан чексиз ток өткөргүч аркылуу өтүп, бардык мүмкүн болгон өткөргүчтөрдү күйгүзмөк.
Мен бир жолу жуманын ар бир күнү үчүн нөлгө бөлүү коркунучу жөнүндө ыр жазгам. Эң драмалуу күн бейшемби болгону эсимде, бирок бул багыттагы бардык иштерим үчүн өкүнүчтүү.
Бир нерсени нөлгө бөлгөндө
Дүйшөмбү абдан эрте
Апта эмне болду
Сиз буга чейин эле ийгиликсиз болдуңуз.
Шейшемби күнү түштөн кийин
Сиз бөлүүчүгө нөлдү коесуз
Мен сага ошондо айтам, сен жаңылып жатасың
Жаман математик!
Нөлгө жеткенде, бузукулук аркылуу,
Шаршемби күнү ажырашкым келет
Сиз көп кыйынчылыктарга туш болосуз
Сиздин башыңызда чөп, суу бар!
Биз менен бир Бартек бар болчу.
Ал эрежелерге карама-каршы келген.
Бейшембиде ал нөлгө бөлүнөт.
Ал эми биздин ортобузда жок!
Кызык бир каалоо сени кармап алса
Жума күнү нөлгө бөлүңүз
Мен чынчыл болом, мен чынчыл болом:
Бул дем алыштын башталышы жаман.
Нөл болгондо, ишемби күнү бир жерде
Бөлүүчү сиздики болот (калың эмес)
Чиркөөнүн тосмосунун астына чөгөлө.
Бул сенин тирилүүсүң.
Сиз сызыкчанын астына нөлдү каалайсызбы,
Жекшемби күнү эс алыңыз
Бор, кара тактай алып кел.
Жазыңыз: нөлгө бөлүнбөйт!
Нөл боштук жана жоктук менен байланыштуу. Чынында эле, ал математикага эч кимге кошулганда аны өзгөртпөй турган чоңдук катары келген: x + 0 = x. Бирок азыр нөл бир нече башка маанилерде пайда болот, өзгөчө катары масштабдуу баштоо. Эгерде терезенин сыртында оң температура да, аяз да жок болсо, анда ... бул нөл, бул температура такыр жок дегенди билдирбейт. Нөл класстагы эстелик көптөн бери талкаланып, жөн эле жок болгон эстелик эмес. Тескерисинче, бул Вавел, Эйфель мунарасы жана Эркиндик статуясы сыяктуу бир нерсе.
Ооба, позициялык системада нөлдүн маанисин ашыкча баалоого болбойт. Билесиңби, Окурман, Билл Гейтстин банк эсебинде канча нөл бар? Билбейм, бирок жарымын алгым келет. Сыягы, Наполеон Бонапарт адамдар нөлгө окшош экенин байкаган: алар позиция аркылуу мааниге ээ болушат. Анджей Важданын «Жылдар өткөн сайын, күндөр өткөн сайын» романында жалындуу сүрөтчү Йержи жарылып кетет: «Филистер нөл, нигил, эч нерсе, эч нерсе, нихил, нөл». Бирок нөл жакшы болушу мүмкүн: "нормадан нөлдүк четтөө" баары жакшы болуп жатат дегенди билдирет жана аны уланта бер!
Келгиле, математикага кайрылалы. Нөлдү жазасыз кошуп, кемитип, көбөйтсө болот. Маня Аняга: «Мен нөл килограмм салмак коштум», - дейт. "Бул кызыктуу, анткени мен дагы бир эле салмактан арылдым", - деп жооп берет Аня. Андыктан алты нөл порция балмуздакты алты жолу жейли, бизге зыяны тийбейт.
Биз нөлгө бөлө албайбыз, бирок нөлгө бөлө алабыз. Тамак-аш күткөндөргө бир табак нөл пельменди оңой эле таратып берсе болот. Ар бири канчадан алат?
Нөл оң же терс эмес. Бул жана саны позитивдүү эмеси терс эмес. Ал x≥0 жана x≤0 барабарсыздыктарын канааттандырат. "Оң нерсе" карама-каршылыгы "терс нерсе" эмес, "терс же нөлгө барабар нерсе". Математиктер тилдин эрежелерине карама-каршы келип, ар дайым бир нерсени «нөлгө барабар» деп айтышат, «нөл» эмес. Бул практиканы негиздөө үчүн бизде: x = 0 формуласын окусак "х нөл", анда х = 1 "x бирге барабар" деп окуйбуз, аны жутуп алса болот, бирок "х = 1534267" жөнүндө эмне айтууга болот? Ошондой эле 0 белгисине сандык маани бере албайсыз0нөлдү терс күчкө көтөрбөйт. Башка жагынан алганда, сиз өз каалооңуз боюнча нөлдү түптөй аласыз ... жана натыйжа дайыма нөл болот.
Экспоненциалдык функция y = ax, а нын оң негизи эч качан нөлгө айланбайт. Мындан нөл логарифм жок деген жыйынтык чыгат. Чынында эле, а негизинин логарифминин b негизи а логарифмасын алуу үчүн негизди көтөрүү керек болгон көрсөткүч. a = 0 үчүн мындай көрсөткүч жок жана нөл логарифмдин негизи боло албайт. Бирок Ньютондун символунун «бөлүүчүсүндөгү» нөл башка нерсе. Бул конвенциялар карама-каршылыкка алып келбейт деп ойлойбуз.
жалган далил
Нөлгө бөлүү жалган далилдер үчүн кеңири таралган тема жана бул тажрыйбалуу математиктерде да болот. Мен сизге эки жакшы көргөн мисалды берейин. Биринчиси алгебралык. Бардык сандар бирдей экенин "далилдейм". Бирдей эмес эки сан бар дейли. Демек, алардын бири экинчисинен чоң, а > б болсун. c алардын айырмасы деп эсептейли
c \uXNUMXd a - b. Демек, бизде a - b = c, андан a = b + c.
Акыркысынын эки бөлүгүн тең a - b көбөйтөбүз:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Мен ак дегенди сол тарапка котордум, албетте белгини өзгөртүү эсимде:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Мен жалпы факторлорду жокко чыгарам:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Мен бөлүшөм жана мен каалаган нерсеге ээ болдум:
a = b.
Ал эми чындыгында бөтөн нерсе, анткени мен a > b деп ойлогом, а = б деп түшүндүм.Эгер жогорудагы мисалда «алдоо» оңой эле таанылса, анда төмөндөгү геометриялык далилде бул оңой эмес. Мен далилдейм ... трапеция жок. Адатта трапеция деп аталган фигура жок.
Бирок адегенде трапеция сыяктуу бир нерсе бар деп коёлу (төмөндөгү сүрөттө ABCD). Анын эки параллелдүү капталдары бар («негиздери»). Келгиле, параллелограмм алуу үчүн бул негиздерди сүрөттө көрсөтүлгөндөй созалы. Анын диагоналдары трапециянын башка диагоналын узундугу x, y, z деп белгиленген сегменттерге бөлөт. Figure 1. Тиешелүү үч бурчтуктардын окшоштугунан биз пропорцияларды алабыз:
кайда аныктайбыз:
ораз
кайда аныктайбыз:
Жылдызчалар менен белгиленген теңдиктин тараптарын кемитүү:
Эки жагын тең x − z менен кыскартып, – a/b = 1 алабыз, бул a + b = 0 дегенди билдирет. Бирок a, b сандары трапециянын негиздеринин узундугу. Эгерде алардын суммасы нөл болсо, анда алар да нөлгө барабар. Бул трапеция сыяктуу фигура болушу мүмкүн эмес дегенди билдирет! Ал эми тик бурчтуктар, ромбтар жана квадраттар да трапеция болгондуктан, урматтуу окурман, ромб, тик бурчтук жана квадраттар да жок...
Guess Guess
Маалымат менен бөлүшүү төрт негизги иштин эң кызыктуусу жана татаалы. Бул жерде биз биринчи жолу бойго жеткенде көп кездешүүчү кубулушка туш болобуз: “жоопту тап, анан туура тапканыңды текшер”. Муну Дэниел К.Деннетт абдан туура айткан («How to Make Mistakes?», How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):
Бул "болжолдоо" ыкмасы биздин бойго жеткен жашообузга тоскоол болбойт - балким, биз аны эрте үйрөнүп алгандыктан жана божомолдоо кыйын эмес. Идеологиялык жактан ушундай эле көрүнүш, мисалы, математикалык (толук) индукцияда кездешет. Ошол эле жерде биз формуланы “болжолдойбуз”, анан биздин божомолубуздун туура экендигин текшеребиз. Студенттер дайыма: «Биз үлгүнү кайдан билдик? Аны кантип алып чыгууга болот?" Студенттер мага бул суроону беришкенде, мен алардын суроосун тамашага айландырам: «Мен муну мен профессионал болгондуктан билем, анткени мен билген үчүн акча төлөм». Мектептеги окуучуларга ошол эле стилде, олуттуураак гана жооп берүүгө болот.
көнүгүү. Кошууну жана жазууну көбөйтүүнү эң төмөнкү бирдик менен, бөлүүнү эң чоң бирдик менен баштайбыз.
Эки идеянын айкалышы
Математика мугалимдери ар дайым биз чоңдордун бөлүнүшү деп атаган нерсе эки концептуалдык жактан ар башка идеялардын биригүүсү экенин белгилешкен: турак-жай i бөлүм.
биринчиси (турак-жай) архетип болгон тапшырмаларда пайда болот:
Бөлүү-бөлүү Булар сыяктуу милдеттер:
? (Биз бул маселенин оригиналдуу стилин сактап калабыз, 1892-жылы Краковдо жарык көргөн Юлиан Згозалевичтин колдонмосунан алынган – злоты – XNUMX кылымдын башына чейин Австро-Венгрия империясында жүгүртүүдө болгон акча бирдиги).
Эми эки маселени карап көрөлү поляк тилиндеги эң эски математика окуу китеби, атасы Томаш Клос (1538). Бул дивизионбу же купеби? Аны XNUMX кылымдагы мектеп окуучулары чечиши керек:
(Полякчадан полякчага котормосу: Чечкеде бир кварта жана төрт казан бар. Казан төрт кварта. Кимдир бирөө соода үчүн 20 баррель шарапты 50 złга сатып алган. Алым жана салык (акциз?) 8 zł болот. Канча 8 zł табуу үчүн бир квартты сатуу?)
Спорт, физика, конгруенция
Кээде спортто бир нерсени нөлгө (голдук катыш) бөлүүгө туура келет. Ооба, соттор кандайдыр бир жол менен муну чечишет. Бирок абстракттуу алгебрада алар күн тартибинде. нөл эмес өлчөмдөранын квадраты нөлгө барабар. Ал тургай, жөнөкөй түшүндүрсө болот.
(у, 0) чекитти (х, у) тегиздиктеги чекит менен байланыштырган F функциясын карап көрөлү. Ф деген эмне2, башкача айтканда, F-нын кош аткарылышы? Нөл функциясы - ар бир чекиттин сүрөтү бар (0,0).
Акыр-аягы, квадраты 0 болгон нөлдүк эмес чоңдуктар физиктер үчүн дээрлик күнүмдүк нан жана a + bε түрүндөгү сандар, мында ε ≠ 0, бирок ε2 = 0, математиктер чакырышат кош сандар. Алар математикалык анализде жана дифференциалдык геометрияда кездешет.
Анткени, арифметикада жок дегенде нөлгө бөлүү деген нерсе бар. Ал келет шайкештик. Z бүтүн сандардын жыйындысын белгилесин. Z көптүгүн p менен бөлүү ар бир санды (бүтүн санды) кээ бир башкаларына, тактап айтканда, алардын айырмасы бөлүнүүчү санга теңейбиз дегенди билдирет. Ошентип, бизде 0, 1, 2, 3, 4 сандарына туура келген сандардын беш түрү болгондо - 5ке бөлгөндө мүмкүн болгон калдыктар. Формула мындайча жазылат:
айырма көп болгондо mod.
= 2 үчүн бизде эки гана сан бар: 0 жана 1. Бүтүн сандарды ушундай эки класска бөлүү аларды жуп жана так деп бөлүүгө барабар. Аны азыр алмаштыралы. Айырма дайыма 1ге бөлүнөт (ар кандай бүтүн сан 1ге бөлүнөт). =0 алуу мүмкүнбү? Келгиле, аракет кылалы: эки сандын айырмасы качан нөлгө эселенген болот? Бул эки сан бирдей болгондо гана. Ошентип, бүтүн сандардын жыйындысын нөлгө бөлүү мааниси бар, бирок бул кызык эмес: эч нерсе болбойт. Бирок, бул башталгыч мектептен белгилүү мааниде сандарды бөлүштүрүү эмес экенин баса белгилей кетүү керек.
Мындай иш-аракеттер жөн эле тыюу салынган, ошондой эле узун жана кенен математика.
Райс. 2. Салыштыруу аркылуу сандарды аныктоо
(режим 5 жана режим 2)
