Татаал жүрүм-туруму, б.а. хаос менен жөнөкөй моделдер

Компьютер табият тарабынан кылдаттык менен катылган сырларды ачуу үчүн илимпоздор тарабынан барган сайын көбүрөөк колдонулуп жаткан курал. Моделдөө эксперимент жана теория менен бирге дүйнөнү изилдөөнүн үчүнчү жолу болуп баратат.

Үч жыл мурун Силезия университетинде биз компьютердик методдорду билим берүүгө интеграциялоо программасын баштаганбыз. Натыйжада, көптөгөн темаларды изилдөөнү жеңилдеткен жана тереңдетүүчү өтө кызыктуу дидактикалык материалдар түзүлдү. Негизги курал катары Python тандалды, ал жеткиликтүү илимий китепканалардын күчү менен бирге теңдемелер, сүрөттөр же маалыматтар менен "компьютердик эксперименттер" үчүн эң жакшы чечим болуп саналат. Толук жумушчу столдун эң кызыктуу ишке ашырылышынын бири бул Sage [2]. Бул Python тили менен компьютердик алгебра тутумунун ачык интеграциясы, ошондой эле веб-браузерди жана булут кызматы [3] же интерактивдүү бир эсептөө сервери аркылуу мүмкүн болгон мүмкүнчүлүктөрдүн бирин колдонуп ойноону дароо баштоого мүмкүндүк берет. бул макаланын версиясы негизделген [4] .

Экологиядагы хаос

Оксфорд университетинде 1-курста австралиялык окумуштуу Роберт Мэй демографиялык динамиканын теориялык аспектилерин изилдеген. Ал Nature журналында "Өтө татаал динамикалуу жөнөкөй математикалык моделдер" [XNUMX] чагымчыл аталышы менен чыккан макалада өз ишин жыйынтыктаган. Жылдар бою бул макала теориялык экология боюнча эң көп цитаталанган эмгектердин бири болуп калды. Бул ишке мынчалык кызыгууну жараткан эмне?

Популяциянын динамикасынын классикалык маселеси - бул белгилүү бир түрдүн азыркы абалын эске алуу менен келечектеги популяциясын эсептөө. Математикалык жактан экосистема калктын бир муунунун жашоосу бир мезгилге созулган эң жөнөкөй деп эсептелген. Жакшы мисал, көпөлөктөр сыяктуу бир мезгилде толук метаморфозго дуушар болгон курт-кумурскалардын популяциясы. Убакыт табигый түрдө калктын жашоо циклдерине ылайык келген дискреттик мезгилдерге2 бөлүнөт. Ошентип, мындай экосистеманы сүрөттөгөн теңдемелер табигый түрдө деп аталган нерсеге ээ дискреттик убакыт, б.а. t = 1,2,3…. Роберт Мэй башка нерселер менен катар ушундай динамика менен алектенген. Өзүнүн ой жүгүртүүсүндө ал экосистеманы бир түргө жөнөкөйлөштүрдү, анын популяциясы мурунку жылдын популяциясынын квадраттык функциясы болгон. Бул модель кайдан келген?

Популяциянын эволюциясын сүрөттөгөн эң жөнөкөй дискреттүү теңдеме сызыктуу модель болуп саналат:

мында Ni - i-сезондогу молчулук, ал эми Ni + 1 кийинки мезгилдеги калктын санын сүрөттөйт. Мындай теңдеме үч сценарийге алып келерин көрүү оңой. Качан a = 1, эволюция популяциянын санын өзгөртпөйт жана <1 жок болуп кетишине алып келет, ал эми a > 1 болсо популяциянын чексиз өсүшүн билдирет. Бул табияттагы дисбаланска алып келет. Жаратылыштагы бардык нерсе чектелгендиктен, ресурстардын чектелген көлөмүн эсепке алуу үчүн бул теңдемени тууралоонун мааниси бар. Элестеткиле, зыянкечтер данды жейт, ал жыл сайын так ошондой. Эгерде курт-кумурскалар көбөйө ала турган азыктын көлөмүнө салыштырмалуу аз болсо, алар математикалык жактан а > 1 константасы менен аныкталуучу толук репродуктивдүү күчтө көбөйө алышат. Бирок зыянкечтердин саны көбөйгөн сайын азык аз болуп, көбөйүү жөндөмдүүлүгү төмөндөйт. Критикалык учурда, ушунчалык көп курт-кумурскалар төрөлүп, алар көбөйө элек дандын баарын жеп, популяция өлүп жатканын элестете алабыз. Тамак-ашка жетүүнүн чектелгендигинин бул таасирин эске алган модель биринчи жолу 1838-жылы Верхульст тарабынан сунушталган. Бул моделде өсүү темпи туруктуу эмес, калктын абалына жараша болот:

Өсүү темпинин а менен Ni ортосундагы байланыш төмөнкүдөй касиетке ээ болушу керек: калктын саны көбөйсө, өсүү темпи төмөндөшү керек, анткени тамак-ашка жетүү кыйын. Албетте, бул касиетке ээ көптөгөн функциялар бар: булар жогорудан ылдый функциялар. Верхулст төмөнкүдөй мамилени сунуш кылган:

мында a>0 жана туруктуу К>0 азык-түлүк ресурстарын мүнөздөйт жана айлана-чөйрөнүн сыйымдуулугу деп аталат. К-нын өзгөрүшү калктын өсүү темпине кандай таасир этет? Эгерде K көбөйсө, Ni/K азаят. Өз кезегинде, бул 1-Ni/K өсөт деп алып келет, ал өсөт дегенди билдирет. Бул өсүү темпи жогорулап, калктын саны тез өсүүдө дегенди билдирет. Ошентип, өсүү темпи (1) теңдемедегидей өзгөрөт деп эсептеп, мурунку моделди (3) өзгөртөлү. Андан кийин биз теңдемени алабыз

Бул теңдемени рекурсивдүү теңдеме катары жазууга болот

мында xi = Ni / K жана xi + 1 = Ni + 1 / K i убакытта жана i + 1 убакытта кайра масштабдалган популяцияларды билдирет. (5) теңдеме логистикалык теңдеме деп аталат.

Мындай кичинекей өзгөртүү менен, биздин моделди талдоо жеңил болуп сезилиши мүмкүн. Келгиле, текшерип көрөлү. a = 5 параметри үчүн (0.5) теңдемени карап көрөлү. Популяциянын ырааттуу маанилерин рекурсивдүү теңдеме (0) менен алууга болот:

x₁= балта₀(1-x₀)

x₂= балта₁(1-x₁)

x₃= балта₂(1-x₂)

(6) боюнча эсептөөлөрдү жеңилдетүү үчүн биз төмөнкү программаны колдонсок болот (ал Python тилинде жазылган жана башка нерселердин катарында Sage платформасында иштетсе болот. http://icse.us.edu китебин окууну сунуштайбыз. .pl/e-book .), биздин моделди туурап:

а = 0.5 х = 0.45 диапазондогу i үчүн (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      басып чыгаруу x

Биз xiнин ырааттуу маанилерин эсептеп, алардын нөлгө жакын экенин байкайбыз. Жогорудагы код менен эксперимент жүргүзүү менен, бул x0 баштапкы маанисине карабастан чындык экенин оңой эле түшүнүүгө болот. Бул калктын тынымсыз өлүп жатканын билдирет.

Анализдин экинчи этабында а параметринин маанисин ae (1,3) диапазонундагы каалаган мааниге чейин жогорулатабыз. Көрсө, анда xi ырааттуулугу белгилүү бир көлөмгө х * > 0 барат экен. Муну экологиянын көз карашынан чечмелеп, популяциянын саны мезгилден мезгилге өзгөрбөгөн белгилүү бир деңгээлде белгиленген деп айтсак болот. . Белгилей кетчү нерсе, x * нун мааниси баштапкы x0 абалынан көз каранды эмес. Бул экосистеманын турукташтыруу аракетинин натыйжасы болуп саналат - популяция өзүнүн өлчөмүн өзүн тамактануу мүмкүнчүлүгүнө ылайыкташтырат. Математикалык жактан система туруктуу белгиленген чекитке умтулат деп айтылат, б.а. x = f(x) теңдигин канааттандыруу (бул кийинки моментте абал мурунку учурдагыдай экенин билдирет). Sage менен биз убакыттын өтүшү менен популяциянын планын түзүү менен бул эволюцияны графикалык түрдө элестете алабыз.

Мындай стабилдештирүү эффекти изилдөөчүлөр тарабынан күтүлгөн жана логистикалык теңдеме (5) күтүүсүз болбогондо көп көңүл бурмак эмес. Бул параметрдин белгилүү бир маанилери үчүн модели (5) күтүлбөгөн жол менен жүрүшөт экен. Биринчиден, мезгилдүү жана көп мезгилдүү мамлекеттер бар. Экинчиден, ар бир убакыт кадамы менен популяция кокус кыймыл сыяктуу бирдей эмес өзгөрөт. Үчүнчүдөн, баштапкы шарттарга чоң сезимталдык бар: дээрлик айырмаланбаган эки баштапкы абал такыр башка популяциянын эволюциясына алып келет. Бул өзгөчөлүктөр толугу менен кокус кыймылга окшош жүрүм-турумга мүнөздүү жана детерминисттик хаос деп аталат.

Келгиле, бул мүлктү изилдеп көрөлү!

Биринчиден, а = 3.2 параметринин маанисин коюп, эволюцияны карап көрөлү. Бул жолу популяция бир эмес, экинчи сезондо катары менен пайда болгон эки мааниге жеткени таң калыштуу көрүнүшү мүмкүн. Бирок көйгөйлөр муну менен эле бүтпөй турганы белгилүү болду. a = 4 менен система мындан ары алдын ала айтууга болбойт. Келгиле, (2) сүрөттү карап көрөлү, болбосо биз компьютердин жардамы менен сандар ырааттуулугун өзүбүз чыгарабыз. Натыйжалар бир аз башкачараак башталгыч популяциялар үчүн кокустук жана такыр башкача көрүнөт. Бирок, кунт коюп окурман каршы болушу керек. Детерминисттик теңдеме1 менен сүрөттөлгөн система, ал тургай, өтө жөнөкөй да, кантип күтүүсүз кыймылдай алат? Мейли, балким.

Бул системанын өзгөчөлүгү анын баштапкы шарттарга өзгөчө сезгичтиги болуп саналат. Миллиондон бири менен айырмаланган эки баштапкы шарттан баштоо жетиштүү жана бир нече кадамдан кийин биз такыр башка калк баалуулуктарын алабыз. Келгиле, компьютерден текшерип көрөлү:

a = 4.0

х = 0.123 ж = 0.123 + 0.000001 PCC = [] диапазондогу i үчүн (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) басып чыгаруу x, y

Бул жерде детерминисттик эволюциянын жөнөкөй модели. Бирок бул детерминизм алдамчы, бул жөн гана математикалык детерминизм. Практикалык көз караштан алганда, система күтүлбөгөн иш-аракет кылат, анткени биз эч качан баштапкы шарттарды математикалык так коё албайбыз. Чынында, бардыгы белгилүү бир тактык менен аныкталат: ар бир өлчөө каражаты белгилүү бир тактыкка ээ жана бул башаламандык касиетине ээ болгон детерминисттик системаларда практикалык күтүлбөгөндүктү пайда кылышы мүмкүн. Мисал катары ар дайым баш аламандык касиетин көрсөткөн аба ырайын болжолдоо моделдерин алсак болот. Ушундан улам узак мөөнөттүү аба ырайынын прогноздору абдан начар.

Башаламан системаларды талдоо өтө кыйын. Бирок, биз компьютердик симуляциялардын жардамы менен хаостун көптөгөн сырларын оңой эле чече алабыз. Бифуркация деп аталган диаграмманы тарталы, ага абсцисса огу боюнча а параметринин маанилерин, ал эми ордината огу боюнча логистикалык картанын туруктуу белгиленген чекиттерин жайгаштырабыз. Биз бир эле учурда көп сандагы системаларды симуляциялоо жана көптөгөн үлгү жолунан кийин баалуулуктарды түзүү аркылуу туруктуу упайларды алабыз. Сиз ойлогондой, бул көп эсептөөлөрдү талап кылат. Келгиле, төмөнкү баалуулуктарды "кылдаттык менен" иштетүүгө аракет кылалы:

import numpy np катары Nx = 300 Бул = 500 x = np.linspace (0,1, Nx) х = х + np.нөлдөр ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.нөл((Nx,Na)) диапазондогу i үчүн (100): x=a*x*(1-x) pt = [a_, x_] үчүн a_, x_ c zip(a.flatten(),x.flatten())] чекит (pt, size = 1, figsize = (7,5))

Биз (3) сүрөтүнө окшош нерсени алышыбыз керек. Бул сүрөттү кантип чечмелесе болот? Мисалы, a = 3.3 параметринин мааниси менен бизде 2 туруктуу белгиленген чекит бар (популяциянын саны ар бир экинчи сезондо бирдей). Бирок, a = 3.5 параметри үчүн бизде 4 туруктуу пункт бар (ар бир төртүнчү сезондо популяция бирдей санда болот), а = 3.56 параметри үчүн бизде 8 туруктуу пункт бар (ар бир сегизинчи сезондо популяция бирдей санга ээ). Бирок a≈3.57 параметри үчүн бизде чексиз көп туруктуу чекиттер бар (популяциянын саны эч качан кайталанбайт жана күтүүсүз түрдө өзгөрөт). Бирок, компьютердик программа менен биз а параметринин көлөмүн өзгөртүп, бул диаграмманын чексиз геометриялык түзүлүшүн өз колубуз менен изилдей алабыз.

Бул айсбергдин чети гана. Бул теңдеме жөнүндө миңдеген илимий эмгектер жазылган, бирок ал дагы эле сырларын жашырууда. Компьютердик симуляциянын жардамы менен сиз жогорку математикага кайрылбастан, сызыктуу эмес динамика дүйнөсүнүн пионерин ойной аласыз. Биз сизди логистикалык теңдеменин көптөгөн кызыктуу касиеттери жана аларды визуалдаштыруунун кызыктуу жолдору жөнүндө толук маалыматты камтыган онлайн версиясын окууга чакырабыз.

¹ Детерминистикалык мыйзам - бул келечек баштапкы абал менен өзгөчө аныкталган мыйзам. Антоним – ыктымалдык мыйзам. ² Математикада "дискреттүү" белгилүү бир эсептелүүчү топтомдон баалуулуктарды алууну билдирет. Тескерисинче "үзгүлтүксүз".