Математиканын реалдуу эмес дүйнөсүнө саякат

Мен бул макаланы чөйрөлөрдүн биринде, информатика колледжинде лекция жана практикадан кийин жаздым. Мен бул мектептин окуучуларын, алардын билимин, илимге болгон мамилесин, эң негизгиси мугалимдик чеберчилигин сынга алуудан өзүмдү коргойм. Бул... аларды эч ким үйрөтпөйт.

Эмне үчүн мен мынчалык коргонуучумун? Жөнөкөй себеп менен - ​​мен, балким, бизди курчап турган дүйнө али түшүнө элек курактамын. Балким, мен аларга машина айдаганды эмес, ат жабдыгын, жабдыктарын чечкенди үйрөтүп жаткандырмын? Балким мен аларга калем калем менен жазганды үйрөтөмбү? Мен бир адам жөнүндө жакшыраак пикирде болсом да, мен өзүмдү "ээрчийм" деп эсептейм, бирок…

Жакынкы убакка чейин орто мектепте комплекстүү сандар жөнүндө сөз кылышчу. Мына ушул шаршемби күнү мен үйгө келип, таштап кеттим - студенттердин дээрлик эч кимиси ал эмне экенин жана бул сандарды кантип колдонууну үйрөнө элек. Кээ бирөөлөр бардык математиканы сырдалган эшиктеги каз сыяктуу карашат. Бирок алар мага кантип үйрөнүү керектигин айтышканда мен чындап таң калдым. Жөнөкөй сөз менен айтканда, лекциянын ар бир сааты эки сааттык үй тапшырмасын түзөт: окуу китебин окуу, берилген тема боюнча маселелерди чыгарууну үйрөнүү ж.б. Ушинтип даярдангандан кийин биз көнүгүүлөргө келдик, анда биз бардыгын жакшыртабыз... Студенттер, сыягы, лекцияда отуруу – көбүнчө терезени карап – билимдин башына кирүүгө кепилдик берет деп ойлошкон окшойт.

Токто! Жетишет. Республиканын бардык аймактарынан келген таланттуу балдарды колдоочу мекеме – Улуттук Балдар Фондунун стипендианттары менен сабак учурунда алган суроого жообумду айтып берейин. Суроо (же, тагыраак айтканда, сунуш) болгон:

— Чыныгы эмес сандар тууралуу айтып бере аласызбы?

"Албетте" деп жооп бердим. 

Сандардын чындыгы

Пифагор: «Дос – башка мен, достук – бул 220 жана 284 сандарынын катышы» дейт. Бул жерде кеп 220 санынын бөлүүчүлөрүнүн суммасы 284, ал эми 284 санынын бөлүүчүлөрүнүн суммасы 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

220 жана 284 сандарынын ортосундагы дагы бир кызыктуу дал келүү бул: он жети эң чоң жөнөкөй сандар 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, жана 59.

Алардын суммасы 2x220, ал эми квадраттардын суммасы 59x284.

Алгачкы. "Чыныгы сан" деген түшүнүк жок. Пилдер жөнүндөгү макаланы окуп чыккандан кийин: «Эми пил эместерди сурайбыз» деп сурайсың. Бүтүндөй жана бүтүндөй эмес, рационалдуу жана иррационалдуу бар, бирок реалдуу эмес. Тактап айтканда: реалдуу эмес сандар жараксыз деп аталбайт. Математикада "сандардын" көптөгөн түрлөрү бар жана алар бири-биринен айырмаланат, мисалы - зоологиялык салыштыруу үчүн - пил менен сөөлжан.

Экинчиден, биз буга чейин тыюу салынганын билген операцияларды аткарабыз: терс сандардын квадрат тамырларын чыгаруу. Ооба, математика мындай тоскоолдуктарды жеңет. Бирок мааниси барбы? Башка илимдегидей эле математикада да теориянын билимдин репозиторийине түбөлүк кирүүсү... анын колдонулушунан көз каранды. Эгер пайдасыз болсо, анда ал таштандыга, анан билим тарыхынын кандайдыр бир таштандысына кетет. Бул макаланын аягында мен айтып жаткан сандарсыз математиканы өнүктүрүү мүмкүн эмес. Бирок, келгиле, кичинекей нерселерден баштайлы. Чыныгы сандар деген эмне, билесизби. Алар сан сызыгын жыш жана боштуксуз толтурушат. Сиз натурал сандар деген эмне экенин да билесиз: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - алардын баары туура келбейт. эсимде эң чоң. Алардын да кооз аты бар: табигый. Алардын көптөгөн кызыктуу касиеттери бар. Бул сизге кандай жагат:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Карл Линденхолм: «Натурал сандарга кызыкдар болуу табигый нерсе», - деп айткан жана Леопольд Кронеккер (1823–1891) муну кыскача айткан: «Кудай табигый сандарды жараткан — калганынын баары адамдын эмгеги!». Бөлчөктөр (математиктер рационалдуу сандар деп аташат) дагы укмуштуудай касиеттерге ээ:

жана теңдикте:

сиз сол тараптан баштап, плюстарды сүртүп, аларды көбөйтүү белгилери менен алмаштырсаңыз болот - ошондо теңдик чын бойдон калат:

Ал эми чындыгында андай эмес.

Белгилүү болгондой, a/b бөлчөктөр үчүн, мында a жана b бүтүн сандар, жана b ≠ 0, алар мындай дешет. рационалдык сан. Бирок поляк тилинде гана алар өздөрүн ушинтип аташат. Алар англис, француз, немис жана орус тилинде сүйлөшөт. рационалдык сан. Англисче: рационалдуу сандар. Иррационал сандар бул акылга сыйбаган, акылга сыйбаган нерсе. Биз ошондой эле акылга сыйбаган теориялар, идеялар жана иштер жөнүндө полякча сүйлөйбүз - бул акылсыздык, ойдон чыгарылган, түшүнүксүз. Аялдар чычкандан коркушат дешет – бул акылга сыйбаган нерсе эмеспи?

Байыркы убакта сандардын жаны болгон. Ар бири бир нерсени билдирген, ар бири бир нерсени символдоштурган, ар бири Ааламдын ошол гармониясынын бөлүкчөсүн чагылдырган, б.а. грекче Космос. "Космос" деген сөздүн өзү эле "тартип, тартип" дегенди билдирет. Эң негизгиси алты (кемчиликсиз сан) жана он, символизми бүгүнкү күнгө чейин сакталып калган башка сандардан түзүлгөн 1+2+3+4 ырааттуу сандардын суммасы болгон. Ошентип Пифагор сандар бардык нерсенин башталышы жана булагы, бир гана ачылыш деп үйрөткөн иррационал сандар Пифагордук кыймылды геометрияга бурган. Мунун себебин биз мектептен билебиз

√2 иррационалдык сан

Анткени бар деп ойлойлу: жана бул бөлчүктү азайтуу мүмкүн эмес. Атап айтканда, p жана q экөө тең так. Квадраттайлы: 2q²=p². p саны так болушу мүмкүн эмес, ошондон бери p² да болмок, жана теңдиктин сол жагы 2ге эселенген. Демек, p жуп, б.а., p = 2r, демек, p²= 4 жыл². 2q теңдемесин азайтабыз²= 4 жыл² 2. Биз q алабыз²= 2 жыл² жана q да жуп болушу керек экенин көрөбүз, биз андай эмес деп ойлогонбуз. Натыйжадагы карама-каршылык далилди толуктайт - бул формуланы көбүнчө ар бир математикалык китептен тапса болот. Бул шарттуу далил софисттердин сүйүктүү амалы.

Бул чексиздикти пифагорчулар түшүнө алган эмес. Баардыгы сандар менен сүрөттөлүшү керек жана кумдун үстүнө таяк менен чиймелей турган квадраттын диагоналынын узундугу жок, б.а. Пифагорчулар: «Ишенимибиз текке кетти» дешет окшойт. Кантип? Бул кандайдыр бир... акылга сыйбаган нерсе. Биримдик секталык ыкмалар менен өзүн сактап калууга аракет кылды. Алардын бар экендигин ачыкка чыгарууга батынган ар бир адам иррационал сандар, өлүм жазасына тартылышы керек болчу жана, кыязы, биринчи сүйлөмдү кожоюн өзү аткарган.

Бирок, «ой, эч нерсеге жарабай өтүп кетти». Алтын доор келди. Гректер перстерди жеңген (Марафон 490, блок 479). Демократия чыңдалып, философиялык ой жүгүртүүнүн жаңы борборлору, жаңы мектептер пайда болду. Пифагорчулар дагы эле иррационалдуу сандар менен күрөшүп келишкен. Кээ бирөөлөр: биз бул сырды түшүнбөйбүз; биз Uncharted жөнүндө ойлонуп, таң кала алабыз. Акыркылары прагматикалыкраак болуп, Сырды сыйлашчу эмес. Ошол учурда иррационалдык сандарды түшүнүүгө мүмкүндүк берген эки психикалык конструкция пайда болгон. Аларды бүгүнкү күндө абдан жакшы түшүнгөнүбүз Евдокска (б. з. ч. XNUMX-кылым) таандык жана XNUMX-кылымдын аягында гана немец математиги Рихард Дедекинд Евдокс теориясына катаал талаптарга ылайык туура өнүгүүнү берген. математикалык логика.

Сандардын массасы же кыйноо

Сиз сандарсыз жашай аласызбы? Жашоо кандай болмок да... Мурда буттун узундугун ченеген таяк менен бут кийим алуу үчүн дүкөнгө барышыбыз керек болчу. "Мен алма алгым келет, аа, бул жерде!" – базарда сатуучуларды көрсөтчүбүз. Модлин шаарынан Новый Уренгой шаарына чейинки аралык канча? "Абдан жакын!"

Сандар өлчөө үчүн колдонулат. Алардын жардамы менен биз дагы көптөгөн башка түшүнүктөрдү билдиребиз. Мисалы, картанын масштабы өлкөнүн аянты канчалык кыскарганын көрсөтөт. Экиге бир шкала, же жөн эле 2, бир нерсенин эки эсе чоңойгондугун билдирет. Математикалык жактан айталы: ар бир тектүүлүк санга – анын масштабына туура келет.

маселе. Сүрөттү бир нече жолу чоңойтуп, ксерографиялык көчүрмө жасадык. Андан кийин чоңойтулган фрагмент кайрадан б жолу чоңойтулган. Жалпы чоңойтуу масштабы кандай? Жооп: a × b көбөйтүлгөн b. Бул таразаларды көбөйтүү керек. "Минус бир" саны, -1, борборлоштурулган бир тактыкка туура келет, б.а. 180 градуска бурулган. 90 градуска бурулганга кандай сан туура келет? Андай номер жок. Бул, бул… же тагыраак айтканда, ал жакында болот. Сиз моралдык кыйноолорго даярсызбы? Кайраттуу болуңуз жана минус бирдин квадрат тамырын алыңыз. Мен угуп атам? Эмне кыла албайсың? Кантсе да мен сага кайраттуу бол дедим эле. Аны тарт! Эй, жакшы, тарт, тарт... Мен жардам берем... Мына: -1 Эми бизде бар, аны колдонууга аракет кылалы... Албетте, азыр бардык терс сандардын тамырын чыгара алабыз, анткени мисал.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Бул психикалык азапка карабастан." Бул тууралуу Жироламо Кардано 1539-жылы жазган, ал менен байланышкан психикалык кыйынчылыктарды жеңүүгө аракет кылган - көп өтпөй ал деп атала баштаган - ойдон чыгарылган чоңдуктар. Ал буларды ойлоду ...

...маселе. 10ду эки бөлүккө бөл, анын көбөйтүлүшү 40. Мурунку эпизоддон ал мындай деп жазганы эсимде: Албетте, мүмкүн эмес. Бирок, муну кылалы: 10ду эки бирдей бөлүккө бөлөбүз, ар бири 5ке барабар. Аларды көбөйткөндө – 25 болуп чыкты. Жыйынтыгында 25тен азыр 40ты кемитип, кааласаң, -15ти аласың. Эми караңыз: 15тен √-5 кошулуп жана кемитилсе, 40тын көбөйтүлгөнүн берет. Булар 5-√-15 жана 5 + √-15 сандары. Кардано тарабынан натыйжаны текшерүү төмөнкүдөй жүргүзүлдү:

"Жүрөк оорутканына карабастан, 5 + √-15ти 5-√-15ке көбөйтүңүз. Биз 25 - (-15) алабыз, бул 25 + 15ке барабар. Демек, продукт 40 .... Бул чындап эле кыйын”.

Ооба, канча турат: (1 + √-1) (1-√-1)? көбөйөлү. √-1 × √-1 = -1 экенин унутпаңыз. Абдан жакшы. Эми татаалыраак милдет: a + b√-1ден ab√-1ге чейин. Не болду? Албетте, бул сыяктуу: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Мунун эмнеси кызык? Мисалы, биз "мурда билбеген" сөз айкаштарын факторлорго бөлө алабыз. үчүн кыскартылган көбөйтүү формуласы²-b² Формула эсиңиздеби²+b² болгон эмес, анткени болушу мүмкүн эмес. Чыныгы сандар чөйрөсүндө, көп мүчө²+b² бул болтурбай коюуга болбойт. «минус бирдин» «биздин» квадрат тамырын и тамгасы менен белгилейли.²= -1. Бул "реалдуу эмес" жөнөкөй сан. Бул учактын 90 градуска бурулушун сүрөттөйт. Неге? Кийин баары,²= -1, жана бир 90 градустук айланууну жана башка 180 градустук айланууну айкалыштыруу 45 градустук айланууну берет. Айланыштын кандай түрү сүрөттөлөт? Албетте, XNUMX градуска бурулат. -i эмнени билдирет? Бул бир аз татаалыраак:

(-I)² = -i × (-i) = + i² = -1

Ошентип -i 90 градуска айланууну да сүрөттөйт, i айлануусуна карама-каршы багытта. Кайсынысы сол, кайсынысы оң? Сиз жолугушууга барышыңыз керек. Биз i саны математиктер оң деп эсептеген багытта айланууну көрсөтөт деп ойлойбуз: саат жебесине каршы. -i саны көрсөткүчтөр кыймылдап жаткан багытта айланууну сүрөттөйт.

Бирок i жана -i сыяктуу сандар барбы? Are! Биз аларды жөн гана жашоого алып келдик. Мен угуп атам? Алар биздин башыбызда гана бар деп? Ооба, эмнени күтүш керек? Башка бардык сандар да биздин мээбизде гана бар. Жаңы төрөлгөн балдардын саны аман-эсенби же жокпу, көрүшүбүз керек. Тагыраак айтканда, дизайн логикалуубу жана алар бир нерсеге пайдалуу болобу. Сураныч, баары өз ордунда жана бул жаңы сандар чындап пайдалуу деп менин сөзүмдү кабыл алыңыз. 3+i, 5-7i сыяктуу сандар, жалпысынан: a+bi татаал сандар деп аталат. Мен сизге учакты айлантуу менен аларды кантип алууга болорун көрсөттүм. Аларды ар кандай жолдор менен киргизүүгө болот: тегиздиктеги чекиттер катары, кээ бир көп мүчөлөр, кандайдыр бир сандык массивдер катары ... жана алар ар дайым бирдей: x теңдемеси² +1=0 элемент жок... хокус покус бар!!!! Куанып журе бериниздер!!!

Турдун аягы

Муну менен жасалма сандар өлкөсүнө болгон биринчи турубуз аяктады. Башка укмуштуудай сандардын ичинен артында эмес, алдында чексиз сандагы сандарды да айтам (алар 10-адик деп аталат, биз үчүн p-adic маанилүүрөөк, мында p - жай сан), үчүн мисал X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Сураныч, X санап көрөлү². Анткени? Чексиз сандан кийин келген сандын квадратын эсептесек эмне болот? Мейли, ошондой кылалы. Биз билебиз x² = H.

Алдыда теңдемени канааттандырган чексиз сандары бар дагы бир ушундай санды табалы. Ишара: алты менен аяктаган сандын квадраты да алты менен аяктайт. 76 менен аяктаган сандын квадраты да 76 менен аяктайт. 376 менен аяктаган сандын квадраты да 376 менен аяктайт. 9376 менен аяктаган сандын квадраты да 9376 менен аяктайт. XNUMX күнү… Ошондой эле ушунчалык кичинекей сандар бар, алар оң болгондуктан, башка оң сандардан кичине бойдон калууда. Алар ушунчалык кичинекей болгондуктан, кээде нөлдү алуу үчүн аларды квадраттоо жетиштүү. a × b = b × a шартын канааттандырбаган сандар бар. Чексиз сандар да бар. Канча натурал сандар бар? Чексиз көп? Ооба, бирок канча? Муну кантип сан катары көрсөтүүгө болот? Жооп: чексиз сандардын эң кичинеси; ал кооз тамга менен белгиленген: А жана нөлдүк А индекси менен толукталган₀ , алеф-нөл.

Биз билбеген сандар да бар... же каалашыңызча ишенип же ишенбесеңиз болот. Жана ушул сыяктуулар жөнүндө айта турган болсом: Мен сизге дагы эле Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers жагат деп үмүттөнөм.