КИМГЕ, башкача айтканда: КОЛУНАН КЕЛГЕН ЖЕРДЕ АРАКЕТ КЫЛ – 2-бөлүк

Мурунку эпизоддо биз Судоку, арифметикалык оюн менен сүйлөштүк, анда сандар негизинен белгилүү бир эрежелерге ылайык ар кандай диаграммаларда жайгаштырылат. Эң кеңири таралган вариант 9×9 шахмат тактасы, кошумча тогуз 3×3 клеткага бөлүнгөн. Ага 1ден 9га чейинки сандар вертикалдык сапта да (математиктер: мамычада) же горизонталдуу сапта (математиктер мындай дейт: катарда) кайталанбашы үчүн коюлушу керек - жана андан тышкары, алар кайталабайт. кандайдыр бир кичинекей чарчы ичинде кайталаъыз.

Na fig. 1 биз бул табышмакты 6 × 6 тик бурчтуктарга бөлүнгөн 2 × 3 чарчы болгон жөнөкөй версиясында көрүп жатабыз. Биз ага 1, 2, 3, 4, 5, 6 сандарын киргизебиз - алар вертикалдуу да кайталанбашы үчүн горизонталдуу эмес, тандалган алты бурчтуктун ар биринде.

Келгиле, жогорку квадратта көрсөтүлгөнгө аракет кылалы. Бул оюндун эрежелери боюнча 1ден 6га чейинки сандар менен толтура аласызбы? Бул мүмкүн - бирок эки ача. Карап көрөлү - сол жагына квадратты же оң жагына квадратты тартыңыз.

Бул табышмак үчүн негиз эмес деп айта алабыз. Биз, адатта, табышмактын бир чечими бар деп ойлойбуз. "Чоң" Судоку 9x9 үчүн ар кандай негиздерди табуу милдети татаал иш жана аны толугу менен чечүүгө эч кандай мүмкүнчүлүк жок.

Дагы бир маанилүү байланыш - карама-каршы система. Төмөнкү орто квадратты (төмөнкү оң бурчта 2 саны бар) толтурууга болбойт. Неге?

Көңүл ачуу жана чегинүү

Биз ойнойбуз. Балдардын интуициясын колдонолу. Алар көңүл ачууну окууга киришүү деп эсептешет. космоско чыгалы. күйгүзүлгөн fig. 2 баары торду көрөт тетраэдртоптордон, мисалы, пинг-понг топтору? Мектептеги геометрия сабактарын эстеп. Сүрөттүн сол тарабындагы түстөр блокту чогултууда эмнеге жабышканын түшүндүрөт. Тактап айтканда, үч бурчтук (кызыл) топ бириге чапталат. Ошондуктан, алардын саны бирдей болушу керек. Балким 9. Эмне үчүн? Анан эмне үчүн?

Ой мен айткан жокмун тапшырмалар. Бул төмөнкүдөй угулат: ар бир бет бардык сандарды камтышы үчүн, көрүнгөн торчого 0дөн 9га чейинки сандарды жазууга болобу? Тапшырма кыйын эмес, бирок канчалык элестетүү керек! Окурмандардын ырахатын бузбайм жана чечимди бербейм.

Бул абдан кооз жана бааланбаган форма. регулярдуу октаэдр, эки пирамидадан (= пирамидалар) төрт бурчтуу негизи менен курулган. Аты айтып тургандай, октаэдрдин сегиз жүзү бар.

Октаэдрдин алты чокусу бар. Бул карама-каршы келет кубанын алты жүзү жана сегиз чокусу бар. Эки кесектин четтери бирдей - ар бири он экиден. Бул кош катуу заттар - бул кубдун беттеринин борборлорун бириктирип октаэдрди алабыз, ал эми октаэдрдин беттеринин борборлору бизге куб берет дегенди билдирет. Бул эки бүдүрчөлөр тең аткарышат ("анткени алар керек") Эйлер формуласы: Чокулардын саны менен беттердин санынын суммасы четтердин санынан 2ге көп.

3. Параллель проекциядагы регулярдуу октаэдр жана ар бир четинде төрт сфера боло тургандай шарлардан түзүлгөн октаэдр тор.

1 жумуш. Биринчиден, математикалык формуланы колдонуп, мурунку абзацтын акыркы сүйлөмүн жаз. Үстүндө fig. 3 сфералардан турган октаэдрдик торду көрөсүз. Ар бир четинде төрт шар бар. Ар бир бет он шардан турган үч бурчтук. Маселе өз алдынча коюлат: катуу денени чаптагандан кийин ар бир дубал бардык сандарды камтышы үчүн тордун тегеректерине 0дөн 9га чейинки сандарды коюуга болобу (мындан улам кайталанбай эле). Мурдагыдай эле бул иште эң чоң кыйынчылык тордун кантип катуу денеге айланышы. Мен муну жазуу жүзүндө түшүндүрө албайм, ошондуктан бул жерде да чечимди бербейм.

4. Пинг-понг топторунан эки икосаэдр. Ар кандай түс схемасына көңүл буруңуз.

буга чейин Платон (жана ал биздин заманга чейинки XNUMX-XNUMX-кылымдарда жашаган) бардык регулярдуу көп кырдууларды билген: тетраэдр, куб, октаэдр, dodecahedron i icosahedron. Ал жерге кантип жеткени таң калыштуу – карандаш, кагаз, калем, китептер, смартфон, интернет жок! Мен бул жерде додекаэдр жөнүндө айтпай эле коёюн. Бирок икосаэдрдик судоку кызыктуу. Биз бул шишикти көрүп жатабыз иллюстрация 4жана анын тармагы сүрөт 5.

5. Икосаэдрдин регулярдуу торчосу.

Мурдагыдай бул мектептеги эсибизде калган (?!) маанидеги тор эмес, шарлардан (шарлардан) үч бурчтуктарды чаптоо ыкмасы.

2 жумуш. Мындай икосаэдрди куруу үчүн канча шар керек? Төмөнкү ой жүгүртүү дагы деле туурабы: ар бир бет үч бурчтук болгондуктан, 20 бет болушу керек болсо, анда 60ка чейин шар керек?

6. Сфералардан икозаэдрдин торчосу. Ар бир тегерек, мисалы, пинг-понг тобу, бирок ошол эле түс менен белгиленген чөйрөлөрдөгү тегеректердин курулушу бири-бирине кошулат. Ошентип, бизде он эки чөйрө бар (= он эки чоку: кызыл, көк, кызгылт көк, көк жана сегиз сары).

Икосаэдрдеги үч сан жетишсиз экенин көрүү оңой. Тагыраак айтканда: 1, 2, 3 сандары бар чокуларды санап чыгуу мүмкүн эмес, ошондуктан ар бир (үч бурчтуу) бетте ушул үч сан бар жана эч кандай кайталоо болбойт. Төрт сан менен мүмкүнбү? Ооба мүмкүн! карап көрөлү Райс. 6 жана 7.

7. Ар бир бет 1, 2, 3, 4 санынан башка сандарды камтышы үчүн икосаэдрди түзгөн шарларды кантип номерлөө керек. Сүрөттөгү денелердин кайсынысы. 4 ушундай түстөбү?

3 жумуш. Төрт сандын үчөөнү төрт жол менен тандоого болот: 123, 124, 134, 234. Сүрөттөгү икосаэдрден ушундай беш үч бурчтукту табыңыз. 7 (ошондой эле иллюстрациялар 4).

жөндөө 4 (абдан жакшы мейкиндик фантазиясын талап кылат). Икосаэдрдин он эки чокусу бар, башкача айтканда, аны он эки шардан жабыштырууга болот (fig. 7). 1 менен белгиленген үч чоку (=шарлар) бар экенине көңүл буруңуз, үчөө 2 жана башкалар. Ошентип, бирдей түстөгү шарлар үч бурчтукту түзөт. Бул үч бурчтук деген эмне? Балким, тең жактуу? Кайра кара иллюстрациялар 4.

Чоң ата/чоң эне жана небере/небере үчүн кезектеги тапшырма. Ата-энелер да акыры өз күчүн сынап көрүшү мүмкүн, бирок аларга чыдамкайлык жана убакыт керек.

5 жумуш. Он эки (көбүрөөк 24) пинг-понг тобун, төрт түстөгү боёкту, щетка жана туура клей сатып алыңыз - мен Superglue же Droplet сыяктуу тез желимдерди сунуштабайм, анткени алар өтө тез кургап, балдар үчүн коркунучтуу. Икосаэдрге клей. Небереңизге кийин дароо жууп (же ыргыта турган) футболка кийгизиңиз. Үстөлдү фольга менен жабыңыз (жакшыраак гезит менен). Сүрөттө көрсөтүлгөндөй кылдаттык менен икосаэдрди төрт түскө 1, 2, 3, 4 менен боёңуз. fig. 7. Тартипти өзгөртө аласыз - адегенде шарларды боёп, анан жабыңыз. Ошол эле учурда боёк боёкко жабышып калбашы үчүн кичинекей тегерекчелерди боёбой калтыруу керек.

Азыр эң татаал милдет (тагыраак айтканда, алардын бүт ырааттуулугу).

жөндөө 6 (Тагыраак айтканда, жалпы тема). Икосаэдрди тетраэдр жана октаэдр катары түзүңүз Райс. 2 жана 3 Бул ар бир четинде төрт топ болушу керек дегенди билдирет. Бул вариантта тапшырма көп убакытты жана ал тургай кымбатты да талап кылат. Келиңиз, сизге канча шар керек экенин билүү менен баштайлы. Ар бир беттин он сферасы бар, демек икосаэдрге эки жүз керек? Жок! Биз көптөгөн шарлар бөлүшүлгөнүн эстен чыгарбашыбыз керек. Икосаэдрдин канча чети бар? Аны талыкпай эсептесе болот, бирок Эйлер формуласы эмне үчүн?

w–k+s=2

мында w, k, s - тиешелүүлүгүнө жараша чокулардын, четтердин жана беттердин саны. w = 12, s = 20, бул k = 30 дегенди билдирет. Бизде икосаэдрдин 30 чети бар. Сиз муну башкача кылсаңыз болот, анткени 20 үч бурчтук болсо, анда алардын 60 гана чети бар, бирок алардын экөө жалпы.

Келгиле, канча шар керек экенин эсептеп көрөлү. Ар бир үч бурчтукта бир гана ички шар бар - биздин денебиздин үстүндө да, четинде да. Ошентип, бизде жалпысынан 20 топ бар. 12 чокусу бар. Ар бир четинде эки чокусу жок шарлар бар (алар кырдын ичинде, бирок беттин ичинде эмес). 30 чети болгондуктан, 60 мрамор бар, бирок алардын экөө тең бөлүштүрүлөт, демек сизге 30 гана мрамор керек, демек жалпысынан 20 + 12 + 30 = 62 мрамор керек. Топторду кеминде 50 тыйынга сатып алса болот (көбүнчө кымбатыраак). Желимдин баасын кошсоң... көп чыгат. Жакшы жабыштыруу бир нече сааттык түйшүктүү ишти талап кылат. Алар чогуу эс алуу үчүн ылайыктуу - мисалы, сыналгы көрүүнүн ордуна мен аларды сунуштайм.

Артка чегинүү 1. Анджей Важданын "Жылдар, күндөр" тасмалар сериясында эки киши шахмат ойношот, анткени алар кечки тамакка чейин кандайдыр бир жол менен убакыт өткөрүш керек. Бул Галисия Краков шаарында өтөт. Чынында эле: гезиттер окулуп бүттү (ал кезде 4 бети бар болчу), телевизор, телефон али ойлоп табыла элек, футболдук беттешүүлөр жок. Көлчүктөрдөгү зеригүү. Мындай кырдаалда адамдар өздөрү үчүн оюн-зоок ойлоп табышты. Бүгүн бизде пультту басканда алар бар ...

Артка чегинүү 2. Математика мугалимдеринин ассоциациясынын 2019-жылдагы жыйынында испаниялык профессор катуу дубалдарды каалаган түскө боёй ала турган компьютердик программаны көрсөттү. Бул бир аз үрөй учурарлык болду, анткени алар колдорун гана тартышты, денени кесип салышты. Ичимден ойлодум: мындай «көлөкө түшүрүүдөн» канчалык ырахат аласың? Баардыгы эки мүнөткө созулат, төртүнчүсүндө биз эч нерсе эсибизде жок. Ал ортодо эскиче «саймачылык» тынчтандырат, тарбиялайт. Ким ишенбесе аракет кылсын.

Келгиле, XNUMX кылымга жана биздин реалдуулукка кайрылалы. Эгерде биз шарларды жабыштыруу түрүндө эс алууну каалабасак, анда биз жок дегенде төрт шары бар икосаэдрдин торчосун тартабыз. Муну кандай жасаш керек? Туура кесип сүрөт 6. Кунт коюп окурман мурунтан эле маселени болжолдойт:

7 жумуш. Бардык бул сандар ушундай икосаэдрдин ар бир бетинде пайда болушу үчүн 0дөн 9га чейинки сандар менен шарларды санап чыгуу мүмкүнбү?

Бизге эмне үчүн төлөнүп жатат?

Бүгүнкү күндө биз өзүбүзгө биздин иш-аракетибиздин максаты тууралуу суроону көп берип жатабыз жана “боз салык төлөөчү” эмне үчүн математиктерге мындай табышмактарды чечүү үчүн акча төлөш керек?

Жооп абдан жөнөкөй. Мындай "баш катырмалар", өзүнчө эле кызыктуу, бул "олуттуураак нерсенин фрагменти". Анткени, аскердик параддар татаал кызматтын сырткы, укмуштуу бөлүгү гана. Мен бир эле мисал келтирейин, бирок мен кызыктай, бирок эл аралык таанылган математикалык предметтен баштайын. 1852-жылы англис студенти профессорунан коңшу өлкөлөр ар дайым ар кандай түстө көрсөтүлүшү үчүн картаны төрт түс менен боёсо болобу деп сурайт. Кошумчалай кетейин, биз АКШнын Вайоминг жана Юта штаттары сыяктуу бир эле учурда жолугушкандарды "коңшулар" деп эсептебейбиз. Профессор билген жок... жана маселе жүз жылдан ашык убакыттан бери чечилишин күтүп келген.

8. РЕКО блокторунан икосаэдр. Жарк чагылдыргычтар икосаэдрдин үч бурчтук жана беш бурчтук менен кандай жалпылыгы бар экенин көрсөтөт. Ар бир чокуда беш үч бурчтук биригет.

Бул күтүлбөгөн жерден болду. 1976-жылы америкалык математиктердин тобу бул маселени чечүү үчүн программа жазышкан (жана алар чечишти: ооба, төрт түс ар дайым жетиштүү болот). Бул "математикалык машинанын" жардамы менен алынган математикалык фактынын биринчи далили болгон - компьютер жарым кылым мурун (жана андан да мурун: "электрондук мээ") деп аталган.

Бул жерде атайын көрсөтүлгөн "Европа картасы" (fig. 9). Ошол жалпы чек арасы бар мамлекеттер байланышат. Картаны боёо бул графиктин чөйрөлөрүн (график деп аталат) боёгондой эле, эч кандай туташкан чөйрөлөр бирдей түстө болбошу үчүн. Лихтенштейнди, Бельгияны, Францияны жана Германияны карап көрсөк, үч түс жетиштүү эмес. Кааласаң, окурман, төрт түскө боё.

9. Европада кимдер ким менен чектешет?

Ооба, ооба, бирок бул салык төлөөчүлөрдүн акчасына татыктуубу? Ошентип, келгиле, бир эле графикти бир аз башкача карайлы. Мамлекеттер жана чек аралар бар экенин унутпагыла. Тегерекчелер бир чекиттен экинчи чекитке жөнөтүлө турган маалымат пакеттерин символдоштурсун (мисалы, Pдан ESTге чейин), ал эми сегменттер мүмкүн болгон байланыштарды билдирет, алардын ар бири өзүнүн өткөрүү жөндөмдүүлүгүнө ээ. Мүмкүн болушунча тезирээк жөнөтөсүзбү?

Биринчиден, абдан жөнөкөйлөштүрүлгөн, бирок ошондой эле математикалык көз караштан алганда абдан кызыктуу жагдайды карап көрөлү. Биз S чекитинен (= башталыш катары) M чекитине (= бүтүрүү) бир нерсени жөнөтүшүбүз керек, мисалы, өткөрүү жөндөмдүүлүгү бирдей болгон туташуу тармагын колдонуп, 1. Муну биз төмөнкү жерден көрөбүз. fig. 10.

10. Statsyika Zdrójдан Мегаполиске чейин байланыштар тармагы.

Келгиле, болжол менен 89 бит маалымат Sдан Mге жөнөтүлүшү керек деп элестетип көрөлү. Бул сөздөрдүн автору поезддердин көйгөйлөрүн жакшы көрөт, ошондуктан ал Стейси Здрождун менеджеримин деп элестетет, ал жерден 144 вагон жөнөтүшү керек. метрополис станциясына. Эмне үчүн так 144? Анткени, биз көрүп тургандай, бул бүт тармактын өткөрүү жөндөмдүүлүгүн эсептөө үчүн колдонулат. Кубаттуулугу ар бир лотто 1ден, б.а. бир унаа убакыт бирдигине (бир маалымат бит, балким, Гигабайт да) өтө алат.

М-де бардык машиналар бир эле убакта жолугушуп турушун камсыз кылалы. Ар бир адам ал жерге убакыттын 89 бирдигинде жетет. Эгерде менде Sдан Mга чейин өтө маанилүү маалымат пакети бар болсо, анда мен аны 144 бирдиктен турган топторго бөлүп, жогорудагыдай түртөм. Математика бул эң тез болоруна кепилдик берет. Сага 89 керек экенин кайдан билдим? Мен чындыгында болжолдоп койдум, бирок мен ойлобосом, аны түшүнүшүм керек болчу Кирхгофтун теңдемелери (кимдир бирөө эсиндеби? - бул токтун агымын сүрөттөгөн теңдемелер). Тармактын өткөрүү жөндөмдүүлүгү 184/89, бул болжол менен 1,62ге барабар.

Кубаныч жөнүндө

Айтмакчы, мага 144 номери жагат. Мага ушул номер менен автобуска отуруп Варшавадагы Целль аянтына барганды жакшы көрчүмүн – анын жанында королдук сепил жок болгондо. Балким, жаш окурмандар ондогон деген эмне экенин билишет. Бул 12 нуска, бирок улуу окурмандар гана ондогон ондогон, б.а. 122=144, бул лот деп аталган нерсе. Ал эми математиканы мектеп программасынан бир аз көбүрөөк билген ар бир адам муну дароо түшүнөт fig. 10 бизде Fibonacci номерлери бар жана тармактын өткөрүү жөндөмдүүлүгү "алтын санга" жакын

Фибоначчи ырааттуулугунда 144 кемчиликсиз квадрат болгон жалгыз сан. Жүз кырк төрт деген да “кубанычтуу сан”. Мына ушинтип индиялык ышкыбоз математик Даттатрея Рамачандра Капрекар 1955-жылы ал түзүүчү цифраларынын суммасына бөлүнүүчү сандарды атаган:

Эгер билсе Adam Miscavige, ал, албетте, жок деп жазган Дзяды: «Чоочун энеден; анын каны анын эски баатырлары / А анын аты кырк төрт, андан да көрктүү: А анын аты жүз кырк төрт.

Көңүл ачууга олуттуу мамиле жасаңыз

Мен окурмандарды судоку баш катырмалары, албетте, олуттуу кароого татыктуу болгон суроолордун кызыктуу жагы экенине ынандырдым деп үмүттөнөм. Мен бул теманы мындан ары өнүктүрө албайм. О, берилген диаграммадан тармактын өткөрүү жөндөмдүүлүгүн толук эсептөө fig. 9 Теңдемелердин системасын жазуу эки же андан көп саатты талап кылат – балким, компьютердин иштөөсү ондогон секунданы (!) талап кылат.