Түстүү квадраттар жана күн тутулуулары

Макалада менин орто класстын окуучулары үчүн – Улуттук балдар фондунун стипендиаттары үчүн өткөргөн класстарым баяндалат. Фонд өзгөчө таланттуу балдарды жана жаштарды (башталгыч мектептин XNUMX-классынан баштап орто мектепке чейин) издейт жана тандалган студенттерге "стипендияларды" сунуштайт. Бирок, алар такыр эле накталай акчаларды алуудан эмес, эреже катары, көп жылдар бою таланттын өнүгүшүнө ар тараптуу кам көрүүдөн турат. Мындай типтеги башка көптөгөн долбоорлордон айырмаланып, белгилүү окумуштуулар, маданият ишмерлери, көрүнүктүү гуманисттер жана башка даанышмандар, ошондой эле айрым саясатчылар Фонддун тарбиялануучуларына олуттуу мамиле кылышат.

Фонддун ишмердүүлүгү спортту, анын ичинде искусствону кошпогондо, мектептеги базалык предметтер болгон бардык дисциплиналарга жайылтылат. Фонд 1983-жылы ошол кездеги чындыкка каршы чара катары түзүлгөн. Фондго каалаган адам кайрыла алат (көбүнчө мектеп аркылуу, жакшыраак окуу жылынын аягына чейин), бирок, албетте, белгилүү бир электен өткөрүү, белгилүү бир квалификациялык процедура бар.

Мен айтып өткөндөй, макала менин мастер-класстарымдын негизинде, атап айтканда, Гдыняда, 2016-жылдын март айында III орто мектепте 24-толук эмес орто мектепте. Аскер-деңиз флоту. Көп жылдар бою бул семинарлар Фонддун демөөрчүлүгү астында өзгөчө харизма жана жогорку интеллектуалдык деңгээлдеги мугалим Войцех Томальчик тарабынан уюштурулуп келет. 2008-жылы ал Польшанын алдыңкы ондугуна кирген, алар педагогика илиминин профессору наамына ээ болгон (мыйзамда көп жылдар мурун каралган). «Билим — дүйнөнүн огу» деген сөздө бир аз апыртма бар.

жана ай ар дайым кызыктуу - анда биз кичинекей планетада чоң мейкиндикте жашап жатканыбызды сезе аласыз, анда бардыгы кыймылда, сантиметр жана секунда менен ченелет. Ал тургай, мени бир аз коркутат, ошондой эле убакыт перспективасы. Бүгүнкү Варшава аймагынан көрүнгөн кийинки толук тутулуу ... 2681-жылы болоорун билебиз. Кызык, аны ким көрөт? Биздин асмандагы Күн менен Айдын көрүнгөн өлчөмдөрү дээрлик бирдей – ошондуктан тутулуулар ушунчалык кыска жана укмуштуу. Кылымдар бою ошол кыска мүнөттөр астрономдор үчүн Күн таажысын көрүү үчүн жетиштүү болушу керек. Кызык, алар жылына эки жолу кайталанышат... бирок бул алардын Жердин кайсы бир жеринде кыска убакыттын ичинде көрүнөөрүн гана билдирет. Толкундардын кыймылынын натыйжасында Ай Жерден алыстап баратат – 260 миллион жылдан кийин ал ушунчалык алыс болуп, биз (биз???) шакекче түрүндөгү тутулууларды гана көрөбүз.

Кыязы, биринчи алдын ала айткан сүйрү, Фалес Милетский (б. з. ч. 28-585-к.) болгон. Чынында эле болгонбу, башкача айтканда, алдын ала айтканбы, билбей калабыз, анткени, Кичи Азиядагы күн тутулуунун биздин заманга чейинки 567, 566-жылы болгондугу азыркы эсептөөлөр менен тастыкталган факт. Албетте, бүгүнкү күндүн эсеби үчүн маалыматтарды келтирем. Кичинекей кезимде эл кантип жыл санаарын элестетчүмүн. Ошентип, бул, мисалы, XNUMX BC, Жаңы жыл түнү келе жатат жана адамдар кубанып жатышат: биздин заманга чейинки XNUMX жыл гана! Акыры, «биздин доор» келгенде, алар кандай гана сүйүнүшсө керек! Бир нече жыл мурун биз миң жылдыктын кандай бурулушун баштан кечирдик!

Даталарды жана диапазондорду эсептөө математикасы тутулуусу, өзгөчө татаал эмес, бирок мыйзам ченемдүүлүк менен жана андан да жаманы, орбиталарда дененин бирдей эмес кыймылы менен байланышкан ар кандай факторлор менен жыш. Мен бул математиканы билгим келет. Милеттик Фалес кантип керектүү эсептөөлөрдү жасай алган? Жооп жөнөкөй. Сизде асман картасы болушу керек. Мындай картаны кантип жасоо керек? Бул да кыйын эмес, байыркы египеттиктер муну кантип билишкен. Түн жарымында ийбадаткананын чатырына эки дин кызматчы чыгат. Ар бири отуруп алып, көргөнүн тартат (кесиптеши сыяктуу). Эки миң жылдан кийин, биз планеталардын кыймылы жөнүндө баарын билебиз ...

Кооз геометрия же "килемдеги" кызыктуу

Гректер сандарды жакшы көрүшчү эмес, алар геометрияга кайрылышкан. Бул биз жасай турган иш. Биздин сүйрү алар жөнөкөй, түстүү, бирок ошондой эле кызыктуу жана реалдуу болот. Биз көк фигура кызылды тутуп тургандай кыймылдайт деген конвенцияны кабыл алабыз. Көк фигураны ай, кызылды күн дейли. Биз өзүбүзгө төмөнкү суроолорду беребиз:

1. тутулуу канча убакытка созулат;
2. максаттын жарымы жабылганда;

   Райс. 1 Күн жана ай менен көп түстүү "килем"

3. максималдуу камтуу деген эмне;
4. калкан жабуунун өз убагында көз карандылыгын талдоо мүмкүнбү? Бул макалада (мен тексттин көлөмү менен чектелген) мен экинчи суроого токтолом. Мунун артында, балким, кызыксыз эсептөөлөр жок, жакшы геометрия бар. Келгиле, анжирди карап көрөлү. 1. Күн тутулганы менен байланыштырылышы мүмкүн деп божомолдоого болобу?

Чынын айтсам, мен талкуулай турган тапшырмалар атайын тандалып алынат, орто жана жогорку класстын окуучуларынын билимине, жөндөмүнө ылайыкталат. Бирок биз музыканттар тараза ойнойт, спортчулар жалпы өнүктүрүү көнүгүүлөрүн жасайбыз деген сыяктуу тапшырмалар боюнча машыгабыз. Анын үстүнө бул жөн эле кооз килем эмеспи (1-сүрөт)?

Күрүч. 2 "Көк" Ай жана "Кызыл" Күн

Биздин асман телолорубуз, жок эле дегенде, башында түстүү квадраттар болот. Ай көк, күн кызыл (боёо үчүн эң жакшы). азыркы менен сүйрү Ай күндү асманда кууп жетип, аны жабат. Бизде да ошондой болот. Эң жөнөкөй учур, Айдын Күнгө салыштырмалуу кыймылы, сүрөттө көрсөтүлгөндөй. 2. Айдын дискинин чети Күн дискинин четине тийгенде тутулуу башталып (2-сүрөт) жана андан ашып кеткенде бүтөт.

Райс. 3 Ай Күнгө диагональ боюнча жакындайт

Биз «Ай» убакыт бирдигине, мисалы, мүнөтүнө бир клетканы жылдырат деп ойлойбуз. Андан кийин тутулуу сегиз убакыт бирдигине, айталы, мүнөткө созулат. жарым күн тутулуулары толугу менен күңүрттөлгөн Цифрдин жарымы эки жолу жабылат: 2 жана 6 мүнөттөн кийин. Проценттин бүдөмүк графиги жөнөкөй. Биринчи эки мүнөттүн ичинде калкан нөлдөн 1ге чейинки ылдамдыкта бирдей жабылат, кийинки эки мүнөттө ошол эле ылдамдыкта ачылат.

Бул жерде кызыктуураак мисал келтирилген (3-сүрөт). Ай Күнгө диагональ боюнча жакындайт. Биздин мүнөтүнө төлөм келишимибизге ылайык, тутулуу 8√ созулат2 мүнөт - бул убакыттын ортосунда биз толук тутулууга ээ. t убакыттан кийин күндүн кайсы бөлүгү жабыларын эсептеп көрөлү (3-сүрөт). Эгерде тутулуу башталгандан бери t мүнөт өткөн болсо жана натыйжада Ай сүрөттө көрсөтүлгөндөй болуп калат. 5, анда (көңүл бургула!) Демек, ал капталган (APQR чарчысынын аянты), күн дискинин жарымына барабар; демек, ал качан жабылган, б.а. 4 мүнөттөн кийин (андан кийин тутулуу аяктаганга 4 мүнөт калганда).

Райс. 4 "Көлөкө салуу" функциясынын графиги

Жалпылык бир көз ирмемге созулат (t = 4√2), ал эми «көлөкөлүү бөлүк» функциясынын графиги параболанын эки жаасынан турат (4-сүрөт).

Биздин көк ай бурчка кызыл күн тийет, бирок аны каптап, диагональ боюнча эмес, бир аз диагональ боюнча барат.Кыймылды бир аз татаалдатканда кызыктуу геометрия пайда болот (6-сүрөт). Кыймылдын багыты азыр вектор [4,3], башкача айтканда, "төрт клетка оңго, үч клетка жогору". Күндүн абалы мындай, тутулуу «асман телолорунун» капталдары узундугунун төрттөн бирине жакындаганда башталат (А позициясы). Ай В абалына өткөндө Күндүн алтыдан бир бөлүгүн, ал эми С абалында жарымын тутуйт. D позициясында бизде толук тутулуу бар, анан баары "болгондой" артка кетет.

Райс. 5 Күндүн бир бөлүгү т убагында жашырылган

Ай G абалында болгондон кийин тутулуу аяктайт. Ал көпкө созулду секциянын узундугу AG. Эгерде мурдагыдай эле убакыт бирдиги катары Айдын «бир квадраттан» өткөн убактысын алсак, анда АГдын узундугу барабар болот. Эгер биздин асман телолору 4кө 4 деген эски конвенцияга кайрылсак, натыйжа башкача болмок (эмне?). Көрсөтүү оңой болгондуктан, бутага t < 15 болгондон кийин жабылат. “Экранды жабуунун пайызы” функциясынын графигин 6-сүрөттө көрүүгө болот. XNUMX.

Райс. 6 "Проценттик коргоо" функциясынын графиги

Тутулуунун жана секирүү теңдемеси

Райс. 7 Сүрөттө көрсөтүлгөн тутулуу учурунда күн дискинин тоскоол болушу. 6

Эгерде биз тегерекчелердин маселесин карабасак, тутулуу маселеси толук эмес болуп калмак. Бул алда канча татаал, бирок келгиле, качан бир тегерек экинчисинин жарымын тутуп калганда, ал эми эң жөнөкөй учурда, алардын бири экөөнү бириктирген диаметр боюнча кыймылдаганда аныктоого аракет кылалы. Чийме кээ бир кредиттик картанын ээлерине тааныш.

Талаалардын абалын эсептөө татаал, анткени ал, биринчиден, тегерек сегменттин аянтынын формуласын билүү, экинчиден, бурчтун жаасын билүү, үчүнчүдөн (жана эң жаманы) жөндөмдү талап кылат. белгилүү бир секирүү теңдемесин чечүү. Мен «өтмө теңдеме» деген эмне экенин түшүндүрбөйм, бир мисал карап көрөлү (8-сүрөт).

Райс. 8 «Сфералык» тутулуу

Тегерек кесим – бул түз сызык менен тегерек кесилгенден кийин калган “ички”. Мындай сегменттин аянты S = 1/2r²(φ-sinφ), мында r - тегеректин радиусу, φ - сегмент таянган борбордук бурч (8-сүрөт). Бул тегерек сектордун аянтынан үч бурчтуктун аянтын кемитүү жолу менен оңой алынат.

Эпизод О₁O₂ (тегеректердин борборлорунун ортосундагы аралык) анда 2rcosφ/2, ал эми бийиктиги (туурасы, "бел сызыгы") h = 2rsinφ/2 барабар. Ошентип, эгерде Ай күн дискинин жарымын качан каптай турганын эсептей турган болсок, теңдемени чечишибиз керек: ал жөнөкөйлөштүрүлгөндөн кийин:

Күрүч. 9 Эки функциянын графиктери

Мындай теңдемелерди чечүү жөнөкөй алгебранын чегинен чыгат – теңдеме эки бурчту да, алардын тригонометриялык функцияларын да камтыйт. Теңдеме салттуу ыкмалардын колунан келбейт. Ошон үчүн аталып калган секирүү. Адегенде эки функциянын, б.а. функциялардын жана функциялардын графиктерин карап көрөлү.Бул сүрөттөн болжолдуу чечимди окуй алабыз. Бирок, биз итеративдик жакындоону ала алабыз же… Excel электрондук жадыбалында Чечим опциясын колдонсок болот. Ар бир жогорку класстын окуучусу муну жасай алышы керек, анткени 20-кылым. Мен татаалыраак Mathematica куралын колдондум жана бул жерде керексиз тактыктын XNUMX ондук орундары менен чечимибиз:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Райс. 10 Математикадагы тутулуунун анимациясы

Муну 180/π көбөйтүп, градуска айландырабыз. Биз 132 градус, 20 мүнөт, 45 жана жаа секунданын төрттөн бир бөлүгүн алабыз. Айлананын борборуна чейинки аралык О деп эсептейбиз₁O₂ = 0,808 радиус, жана "бел" 2,310.