Лем, Токарчук, Краков, математика

3-жылдын 7-2019-сентябрында Краков шаарында Польшанын математикалык коомунун юбилейлик конгресси болуп өттү. Юбилей, анткени Коомдун тузулгендугунун жуз жылдыгы. 1-жылдардан Галисияда болгон (император FJ1919 поляк-либерализминин чеги бар деген сын атоочсуз), бирок жалпы улуттук уюм катары 1919-жылдан баштап гана иштеп келген. Поляк математикасынын негизги жетишкендиктери 1939s XNUMX-XNUMX жылдарында. Львовдогу Ян Касимир университетинде XNUMX, бирок конгресс ал жерде боло алган жок - бул да эң жакшы идея эмес.

Жолугушуу абдан майрамдык маанайда өттү, коштоочу иш-чараларга (анын ичинде Яцек Войчицкинин Ниеполомицедеги сепилдеги спектакли) жык толду. Негизги лекцияларды 28 докладчы окушту. Алар поляк тилинде болушкан, анткени чакырылган коноктор поляктар болгон - сөзсүз түрдө жарандык деген мааниде эмес, бирок өздөрүн поляктар катары тааныган. Ооба, Польшанын илимий мекемелеринен он үч гана лектор келди, калган он беши АКШдан (7), Франциядан (4), Англиядан (2), Германиядан (1) жана Канададан (1) келишкен. Ооба, бул футбол лигаларында белгилүү көрүнүш.

Мыктылар дайыма чет өлкөдө концерт беришет. Бир аз өкүнүчтүү, бирок эркиндик бул эркиндик. Бир нече поляк математиктери Польшада жетүүгө мүмкүн болбогон чет өлкөлөрдө карьераларды жасашты. Бул жерде акча экинчи орунда турат, бирок мен мындай темаларга жазгым келбейт. Балким, эки гана комментарий.

Россияда жана ага чейин Советтер Союзунда бул эң аң-сезимдүү деңгээлде болгон жана болуп жатат... жана кандайдыр бир жол менен эч ким ал жакка көчкүсү келбейт. Өз кезегинде Германияда он чакты талапкер каалаган университетке профессорлукка тапшырышат (Констанц университетинин кесиптештери бир жылда 120 документ тапшырышканын, анын 50сү абдан жакшы, 20сы эң мыкты деп айтышкан).

Юбилейлик съезддин лекцияла-рынын бир нечесин биздин ай сайын чыгуучу журналыбызда кыскача айтууга болот. "Сейрек графиктердин чектери жана алардын колдонулушу" же "Жогорку өлчөмдүү нормалдаштырылган мейкиндиктер үчүн сызыктуу структурасы жана геометриясы жана фактордук мейкиндиктер" сыяктуу рубрикалар карапайым окурманга эч нерсе айта албайт. Экинчи теманы биринчи курстардагы досум киргизген, Николь Томчак.

Бир нече жыл мурун, ал бул лекцияда көрсөтүлгөн жетишкендик үчүн көрсөтүлгөн. Филдс медалы математиктер үчүн эквиваленттүү болуп саналат. Азырынча бул сыйлыкты бир гана аял алган. Лекцияны да белгилей кетуу керек Анна Марчиняк-Чохра (Гейдельберг университети) «Механикалык математикалык моделдердин медицинадагы ролу лейкозду моделдөө мисалында».

медицинага кирди. Варшава университетинде проф. Ежи Тюрин.

Лекциянын аталышы Окурмандарга түшүнүксүз болуп калат Веслава Низиол (z prestiżowej Жогорку педагогикалык окуу жайы) "Адик Ходж теориясы". Ошого карабастан дал ушул лекцияны мен бул жерде талкуулоону чечтим.

Геометрия -адикалык дүйнө

Бул жөнөкөй кичинекей нерселерден башталат. Эсиңдеби, окурман, жазуу алмашуу ыкмасы? Сөзсүз. Башталгыч мектептеги бейкапар жылдарды эстеп көрөлү. 125051ди 23кө бөлүңүз (бул сол жактагы аракет). Ал ар кандай болушу мүмкүн экенин билесизби (оң жактагы аракет)?

Бул жаңы ыкма кызыктуу. Мен аягынан барам. 125051 санын 23кө бөлүү керек. Акыркы цифра 23 болушу үчүн 1тү эмнеге көбөйтүү керек? Эстутумда издөө жана бизде :=7. Натыйжанын акыркы цифрасы 7. Көбөйт, кемит, биз 489 алабыз. 23тү кантип көбөйтүп, 9га чыгасың? Албетте, 3. Биз жыйынтыктын бардык сандарын аныктай турган деңгээлге жетебиз. Биз аны практикалык эмес жана кадимки методубузга караганда кыйын деп эсептейбиз - бирок бул практикалык маселе!

Эр жүрөк киши бөлүүчү менен толук бөлүнбөсө, иш башка нукка бурулат. Бөлүнүп, эмне болорун көрөлү.

Сол жакта типтүү мектеп трассасы. Оң жакта "биздин кызыктар".

Биз эки натыйжаны тең көбөйтүү менен текшере алабыз. Биринчисин түшүнөбүз: 4675 санынын үчтөн бири бир миң беш жүз элүү сегиз, үчөө мезгилде. Экинчисинин мааниси жок: бул сандын алдында чексиз алтылык, анан 8225 деген эмне?

Мааниси суроону бир азга калтыралы. Кел, ойнойлу. Ошентип, 1ди 3кө, анан 1ди 7ге бөлөлү, бул үчтөн бир жана жетинчи. Биз оңой ала алабыз:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Бул акыркы сап билдирет: блок 285714 башында чексиз кайталанат, акырында алардын үчөө бар. Ишенбегендер үчүн бул сыноо:

Эми бөлчөктөрдү кошолу:

Андан кийин алынган кызык сандарды кошуп, ошол эле кызык санды алабыз (текшеребиз).

......95238095238095238095238010

Бул барабар экенин текшере алабыз

Негизгиси али ачыла элек, бирок арифметика туура.

Дагы бир мисал.

Кадимки, чоң болсо да, 40081787109376 саны кызыктуу касиетке ээ: анын квадраты да 40081787109376 менен аяктайт. саны x40081787109376, бул ( x40081787109376)² ошондой эле x40081787109376 менен аяктайт.

Кеңеш. Бизде 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, демек, кийинки цифра үчтөн онго чейинки толуктоочу, ал 7. Текшерип көрөлү: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Эмне үчүн мындай болду деген суроо кыйын. Оңойроок: 5 менен аяктаган сандарга окшош аяктоолорду табыңыз. Кийинки цифраларды издөө процессин чексиз улантуу менен биз ушундай "сандарга" келебиз ²=²= (жана бул сандардын бири да нөлгө же бирге барабар эмес).

жакшы түшүнөбүз. Ондук чекиттен кийин канчалык алыс болсо, сан ошончолук азыраак мааниге ээ. Инженердик эсептөөлөрдө ондук чекиттен кийинки биринчи цифра экинчиси сыяктуу эле маанилүү, бирок көп учурларда тегеректин айланасынын анын диаметрине катышы 3,14 деп болжолдоого болот. Албетте, авиация тармагына дагы сандарды киргизүү керек, бирок ондон ашпайт деп ойлойм.

аты макаланын аталышында пайда болгон Станислав Лем (1921-2006), ошондой эле биздин жаңы Нобель сыйлыгынын лауреаты. Lady Ольга Токарчук Мен муну себебин гана айттым адилетсиздикти кыйкырыпЧындыгында Станислав Лем адабият боюнча Нобель сыйлыгын алган эмес. Бирок ал биздин бурчта эмес.

Лем көп учурда келечекти алдын ала көрөт. Алар адамдардан көз карандысыз болгондо эмне болот деп ойлоду. Акыркы убакта бул темада канча фильмдер пайда болду! Лем оптикалык окурманды жана келечектин фармакологиясын абдан так алдын ала айткан жана сүрөттөгөн.

Ал математиканы жакшы билчү, бирок кээде ага оюм-чийим катары мамиле кылып, эсептөөнүн тууралыгына маани бербестен. Маселен, «Сыноо» повестинде Пиркс учкуч В68 орбитасына 4 саат 29 минута айлануу мезгили менен чыгат, ал эми керсетме 4 саат 26 минутаны тузет. Алар 0,3 пайыз ката менен эсептешкенин эстейт. Ал Калкуляторго маалыматтарды берет, ал эми эсептегич баары жакшы деп жооп берет ... Ооба, жок. 266 мүнөттүн ондон үч бөлүгү бир мүнөткө жетпейт. Бирок бул ката бир нерсени өзгөртөбү? Балким атайылап болгондур?

Мен эмне үчүн бул жөнүндө жазып жатам? Көптөгөн математиктер дагы бул суроону көтөрүштү: коомду элестетиңиз. Аларда биздин адамдык акылыбыз жок. Биз үчүн 1609,12134 жана 1609,23245 абдан жакын сандар - англис милясына жакшы жакындашуулар. Бирок компьютерлер 468146123456123456 жана 9999999123456123456 сандарын жакын деп эсептеши мүмкүн. Аларда бирдей он эки орундуу аягы бар.

Аягында жалпы цифралар канчалык көп болсо, сандар ошончолук жакын болот. Бул болсо дистанция деп аталган нерсеге алып келет -adic. Бир көз ирмем үчүн p 10го барабар болсун; эмне үчүн жөн гана "бир азга", мен түшүндүрөм ... азыр. Жогоруда жазылган сандардын 10 баллдык аралыгы 

же миллиондун бири - анткени бул сандар аягында алты жалпы цифра бар. Бардык бүтүн сандар нөлдөн бир же андан азыраак айырмаланат. Мен шаблон жазбай эле коёюн, анткени бул маанилүү эмес. Аягында бирдей сандар канчалык көп болсо, сандар ошончолук жакын болот (адам үчүн, тескерисинче, баштапкы сандар каралат). p жай сан болушу маанилүү.

Андан кийин - алар нөлдөрдү жана бирди жакшы көрүшөт, ошондуктан алар бул үлгүлөрдөгү бардыгын көрүшөт: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

"Глос Пана" романында Станислав Лем илимпоздорду жалдап, албетте, нөл-бир коддуу, акыреттен жөнөтүлгөн кабарды окууга аракет кылат. Бизге бирөө жазабы? Лем "эгер кимдир бирөө бизге бир нерсе айткысы келген билдирүү болсо, каалаган билдирүүнү окууга болот" деп ырастайт. Бирок ошондойбу? Мен окурмандарды ушул дилемма менен калтырайын.

Биз XNUMXD мейкиндигинде жашайбыз R³. Кат R октор чыныгы сандардан, б.а. бүтүн сандардан, терс жана оң сандардан, нөлдөн, рационалдуу (б.а. бөлчөктөр) жана иррационалдык, алар мектепте окуп жүргөндө кезиккен () жана алгебрада жетпеген трансценденттик сандар деп аталган сандардан (бул π саны) тураарын эске салат. эки миң жылдан ашык убакыттан бери тегеректин диаметрин анын айланасы менен байланыштырып келген).

Биздин мейкиндиктин октору -адик сандар болсочу?

Ежи Миодушовский, Силезия университетинин математики, мындай болушу мүмкүн, ал тургай, ошондой болушу мүмкүн деп ырастайт. Биз (Йержи Миодушовский дейт) мындай жандыктар менен мейкиндикте бир орунду ээлей алабыз, бири-бирибизге кийлигишпестен жана бири-бирибизди көрбөйбүз.

Ошентип, бизде изилдөө үчүн "алардын" дүйнөсүнүн бардык геометриясы бар. "Алар" биз жөнүндө ушундай ойдо болушу жана биздин геометрияны изилдеши күмөн, анткени биздики бардык "алардын" дүйнөлөрүнүн чек арасы. "Алар", башкача айтканда, бардык тозок дүйнөлөрү, алар негизги сандар. Атап айтканда, = 2 жана нөл-бирдин бул кызыктуу дүйнөсү ...

Бул жерде макаланын окурманы ачууланып, жада калса ачуусу келип калышы мүмкүн. — Математиктер ушундай акылсыздык кылабы? Алар менин (=салык төлөөчүнүн) акчасы менен кечки тамактан кийин арак ичүүнү кыялданышат. Анан төрт шамалга таратып жибергиле, совхоздорго барышсын... эй, совхоздор жок!

Эс алыңыз. алар ар дайым ушундай тамашаларга ыкташкан. Мен жөн гана сэндвич теоремасын айта кетейин: эгерде менде сыр жана ветчина сэндвичим болсо, анда булочка, ветчина жана сырды экиге бөлүү үчүн аны бир кесип алам. Бул иш жүзүндө пайдасыз. Кеп бул функциялык анализден кызыктуу жалпы теореманын оюнча колдонулушу.

-adic сандары жана ага байланыштуу геометрия менен күрөшүү канчалык олуттуу? Окурмандын эсине сала кетейин, рационалдуу сандар (жөнөкөй сөз менен айтканда: бөлчөктөр) сызыкта жыш жайгашкан, бирок аны тыгыз толтурбайт.

Иррационалдык сандар "тешиктерде" жашайт. Алардын саны көп, чексиз көп, бирок алардын чексиздиги биз эсептеген эң жөнөкөй чексиздиктен чоң деп айта аласыз: бир, эки, үч, төрт... жана башкалар ∞ге чейин. Бул биздин адамдык "тешиктерди" толтуруу. Биз бул психикалык түзүлүштү мураска алганбыз Пифагорчулар. 

Бирок математик үчүн кызыктуу жана маанилүү нерсе бул тешиктерди иррационалдык жана р-адиктик сандар менен «толтурууга» болбойт (бардык р үчүн). Муну түшүнгөн окурмандар үчүн (жана бул мындан отуз жыл мурун ар бир орто мектепте окутулган), кептин баары канааттандырылган ар бир ырааттуулукта. Кошинин абалы, жакындайт.

Бул чындык болгон мейкиндик толук деп аталат («эч нерсе жок»). 547721051611007740081787109376 номери эсимде.

0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 жана башка ырааттуулук белгилүү бир чекке жакындайт, ал болжол менен 0,5477210516110077400 81787109376.

Бирок, 10-адик аралыктын көз карашынан алганда, 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 жана башка сандардын ырааттуулугу да "кызык" санга жакындайт ... 547721051 611007740081787109376.

Бирок бул дагы илимпоздорго мамлекеттик акча берүү үчүн жетиштүү себеп болбошу мүмкүн. Дегеле биз (математиктер) изилдөөбүз эмнеге пайдалуу болорун алдын ала айтуу мүмкүн эмес деп өзүбүздү коргойбуз. Ар бир адам кандайдыр бир пайдалуу болоору жана кеңири фронттогу аракеттер гана ийгиликке жетүү мүмкүнчүлүгү бар экендиги дээрлик анык.

Эң чоң ойлоп табуулардын бири болгон рентген аппараты радиоактивдүүлүк кокустан табылгандан кийин түзүлгөн Беккерела. Эгерде бул болбосо, көп жылдык изилдөөлөр, балким, пайдасыз болмок. "Биз адамдын денесин рентгенге түшүрүүнүн жолун издеп жатабыз."

Акыры, эң негизгиси. Теңдемелерди чечүү жөндөмү роль ойнойт дегенге баары макул. Ал эми бул жерде биздин кызыктай сандар жакшы корголгон. тиешелүү теорема (Мен Минковскини жек көрөм) кээ бир теңдемелерди ар бир -адидик денеде чыныгы тамырлар жана тамырлар болгондо гана рационал сандар менен чечүүгө болорун айтат.

Бул ыкма аздыр-көптүр сунушталды Эндрю Уайлс, акыркы үч жүз жылдын эң белгилүү математикалык теңдемесин чечкен - мен окурмандарга аны издөө системасына киргизүүнү сунуштайм "Ферматтын акыркы теоремасы".