тескери сүйкүмдүүлүк
Математикада эле эмес, “карама-каршылыктардын сүйкүмдүүлүгү” тууралуу көп сөз бар. Карама-каршы сандар белгиси боюнча гана айырмаланган сандар экенин унутпаңыз: плюс 7 жана минус 7. Карама-каршы сандардын суммасы нөлгө барабар. Бирок биз үчүн (б.а. математиктер) бири-бирин кайталоо кызыктуураак. Эгерде сандардын көбөйтүлүшү 1ге барабар болсо, анда бул сандар бири-бирине тескери болот. Ар бир сандын карама-каршы, ар бир нөл эмес сандын тескериси бар. Къайсынны къайсысы – урук.
Инверсия эки чоңдук бири-бири менен байланышта болгон жерде болот, ошондуктан бири көбөйсө, экинчиси тиешелүү ылдамдыкта азаят. "Тиешелүү" бул чоңдуктардын көбөйтүлүшү өзгөрбөй турганын билдирет. Биз мектептен эстейбиз: бул тескери пропорция. Эгер мен көздөгөн жериме эки эсе тез жетүүнү кааласам (б.а. убакытты экиге кыскартуу), ылдамдыгымды эки эсеге кыскартышым керек. Газы бар пломбаланган идиштин көлөмү n эсе азайса, анда анын басымы n эсе көбөйөт.
Башталгыч класстарда дифференциалдык жана салыштырмалуу салыштырууларды кылдаттык менен айырмалайбыз. "Дагы канча"? – “Канча эсе көп?”
Бул жерде кээ бир мектеп иш-чаралар болуп саналат:
1 жумуш. Эки оң мааниден биринчиси экинчиден 5 эсе, ошол эле учурда биринчиден 5 эсе чоң. Өлчөмдөрү кандай?
2 жумуш. Бир сан экинчисинен 3кө, экинчиси үчүнчүсүнөн 2ге чоң болсо, биринчи сан үчүнчүдөн канчага чоң болот? Биринчи оң сан экинчиден эки эсе, биринчи сан үчүнчүдөн үч эсе көп болсо, биринчи сан үчүнчүдөн канча эсе чоң болот?
3 жумуш. 2-тапшырмада натурал сандарга гана уруксат берилет. Ал жерде айтылгандай тартип болушу мүмкүнбү?
4 жумуш. Эки оң мааниден биринчиси экинчиден 5 эсе, экинчиси биринчиден 5 эсе көп. Бул мүмкүнбү?
"Орто" же "орточо" деген түшүнүк абдан жөнөкөй көрүнөт. Дүйшөмбү күнү 55 км, шейшемби күнү 45 км, шаршемби күнү 80 км велосипед менен жүрсөм, орточо эсеп менен күнүнө 60 км жол жүрдүм. Бир күндө 60 чакырым жолду басып өтпөгөндүктөн, алар бир аз кызык болсо да, биз бул эсептерге чын жүрөктөн макулбуз. Биз бир адамдын үлүштөрүн оңой эле кабыл алабыз: эгерде алты күндүн ичинде ресторанга эки жүз адам барса, анда орточо суткалык көрсөткүч 33 жана үчүнчү адам. Хм!
Орточо өлчөмү менен гана көйгөйлөр бар. Мен велосипед тебүүнү жакшы көрөм. Ошентип, мен туристтик агенттиктин “Биз менен кетебиз” деген сунушунан пайдаланып калдым – алар жүктү мейманканага жеткиришет, ал жерде кардар эс алуу максатында велосипед тээп жүрөт. Жума күнү мен төрт саат айдадым: биринчи экөө саатына 24 км ылдамдыкта. Анан мен ушунчалык чарчадым, кийинки экөө саатына 16 гана чен. Менин орточо ылдамдыгым канча болду? Албетте (24+16)/2=20км=20км/саат.
Ал эми ишемби күнү жүк мейманканада калып, 24 км алыстыкта жайгашкан сепилдин урандыларын көргөнү барып, аларды көрүп кайттым. Мен бир багытка бир саат айдадым, артка жайыраак, саатына 16 км ылдамдык менен кайтып келдим. Мейманкана-сепил-мейманкана багытында менин орточо ылдамдыгым канча болду? саатына 20 км? Албетте жок. Анткени, мен жалпысынан 48 км жол жүрдүм, ал мага бир саатка («ал жакта») жана бир жарым саат артка кетти. 48 км эки жарым саатта, б.а. саат 48/2,5=192/10=19,2 км! Бул жагдайда орточо ылдамдык орточо арифметикалык эмес, берилген маанилердин гармониясы болуп саналат:
ал эми бул эки кабаттуу формуланы төмөнкүчө окууга болот: оң сандардын гармоникалык орточо мааниси алардын өз ара арифметикалык орточо маанисинин тескери. Кайталануучу сумманын кайтарылышы мектеп тапшырмаларынын көптөгөн хорлорунда пайда болот: бир жумушчу саат казса, экинчиси - б саат, анда чогуу иштеп, өз убагында казышат. суу бассейни (бир саатына, экинчиси б саатта). Эгерде бир резистордо R1, экинчисинде R2 болсо, анда алар параллелдүү каршылыкка ээ.
Эгерде бир компьютер маселени секунданын ичинде чече алса, экинчи компьютер б секундда, анан алар чогуу иштегенде...
Токто! Аналогия ушул жерде бүтөт, анткени бардыгы тармактын ылдамдыгынан көз каранды: байланыштардын эффективдүүлүгү. Жумушчулар да бири-бирине тоскоолдук кылышы же жардам бериши мүмкүн. Эгерде бир адам кудукту сегиз саатта казса, сексен жумушчу аны сааттын 1/10 (же 6 мүнөт) ичинде жасай алабы? Эгерде алты портер пианинону биринчи кабатка 6 мүнөттө алып барса, алардын бири пианинону алтымышчы этажга канча убакытта жеткирет? Мындай маселелердин акылга сыйбастыгы бардык математиканын «жашоодон» алынган маселелерге чектелген колдонулушун эске салат.
бүт сатуучу жөнүндө
Таразалар мындан ары колдонулбайт. Эске салсак, мындай таразалардын бир табагына тараза коюлуп, ал эми таразага тартылып жаткан товарлар экинчисине коюлуп, салмак тең салмактуулукка жеткенде, жүктүн салмагы бирдей болгон. Албетте, салмак жүктүн эки колу бирдей узундукта болушу керек, антпесе тараза туура эмес болуп калат.
Оо туура. Бирдей эмес рычаг менен салмагы бар сатуучуну элестетиңиз. Бирок, ал кардарларга чынчыл болгусу келип, товарды эки партияга таразалайт. Биринчиден, ал бир табага салмак, экинчисине тиешелүү өлчөмдөгү товарларды коёт - тараза тең салмакта болушу үчүн. Андан кийин товардын экинчи «жарымын» тескери тартипте таразага тартат, башкача айтканда, салмагын экинчи идишке, товарды биринчисине салат. Колдор бирдей болбогондуктан, "жарым" эч качан бирдей болбойт. Ал эми сатуучунун абийири таза, ал эми сатып алуучулар анын чынчылдыгын макташат: "Бул жерден эмнени алып салдым, анан кошуп койдум".
Бирок, келгиле, оор салмакка карабай чынчыл болгусу келген сатуучунун жүрүм-турумуна тереңирээк токтололу. Таразанын колдорунун узундугу a жана b болсун. Эгерде чөйчөктөрдүн бирине килограммдык салмак, экинчисине х товар жүктөлсө, анда тараза тең салмактуулукта болот, эгерде биринчи жолу ax = b жана экинчи жолу bx = a болсо. Ошентип, товардын биринчи бөлүгү б / килограммга барабар, экинчи бөлүгү а / б. Жакшы салмак a = b бар, ошондуктан сатып алуучу 2 кг товар алат. a ≠ b болгондо эмне болорун карап көрөлү. Анда a – b ≠ 0 жана кыскартылган көбөйтүү формуласынан биз бар
Биз күтүлбөгөн жыйынтыкка келдик: өлчөөнү «орточо эсепке алуунун» адилеттүү көрүнгөн ыкмасы бул учурда көбүрөөк товар алган сатып алуучунун пайдасына иштейт.
жөндөө 5. (Маанилүү, эч кандай математикада!). Чиркейдин салмагы 2,5 миллиграмм, пилдин салмагы беш тонна (бул абдан туура маалымат). Чиркей менен пилдин массаларынын (салмактарынын) орточо арифметикалык, геометриялык орточо жана гармоникалык орточо маанисин эсептегиле. Эсептөөлөрдү текшериңиз жана алардын арифметикалык көнүгүүлөрдү аткаруудан башка мааниси бар-жогун көрүңүз. Келгиле, «чыныгы жашоодо» мааниси жок математикалык эсептөөлөрдүн башка мисалдарын карап көрөлү. Кеңеш: Биз бул макалада бир мисалды карап чыктык. Бул интернеттен тапкан анонимдүү студенттин: "Математика адамдарды сандар менен алдайт" деген туура экенин билдиреби?
Ооба, мен кошулам, математиканын улуулугунда адамдарды "алдап" коюуга болот - шампундун ар бир экинчи жарнагында ал пушистикалыкты кандайдыр бир пайызга жогорулатат деп айтылат. Криминалдык ишмердүүлүк үчүн колдонула турган күнүмдүк пайдалуу куралдардын башка мисалдарын издейлиби?
грамм!
Бул үзүндүнүн аталышы зат атооч эмес (бир килограммдын миңден биринин номинативдик көптүк түрү) этиш (биринчи жак көптүк) болуп саналат. Гармония тартипти жана музыканы билдирет. Байыркы гректер үчүн музыка илимдин бир тармагы болгон – муну моюнга алышыбыз керек, эгер мындай айтсак, «илим» деген сөздүн азыркы маанисин биздин эрага чейинки мезгилге өткөрүп жиберебиз. Пифагор биздин заманга чейинки XNUMX кылымда жашаган.Ал компьютерди, уюлдук телефонду жана электрондук почтаны билбегени аз келгенсип, Роберт Левандовский, Миешко I, Карл жана Цицерондун ким экенин да билчү эмес. Ал араб сандарын да, атүгүл рим цифраларын да билчү эмес (алар биздин заманга чейинки XNUMX-кылымда колдонула баштаган), ал Пуни согуштары эмне болгонун билген эмес... Бирок ал музыканы билген...
Ал кылдуу аспаптарда термелүү коэффициенттери кылдардын титирөөчү бөлүктөрүнүн узундугуна тескери пропорционал экенин билген. Ал билчү, билчү, аны биз бүгүнкүдөй айтып бере алган жок.
Октаваны түзгөн эки жип термелүүсүнүн жыштыгы 1:2 катышта, башкача айтканда, жогорку нотанын жыштыгы төмөнкүнүн жыштыгынан эки эсе көп. Бешинчи үчүн туура титирөө катышы 2:3, төртүнчүсү 3:4, таза негизги үчүнчүсү 4:5, экинчиси 5:6. Бул жагымдуу үнсүз интервалдар. Андан кийин эки нейтралдуу 6:7 жана 7:8 термелүү катышы бар, андан кийин диссонанттар – чоң тон (8:9), кичине тон (9:10) болот. Бул бөлчөктөр (катнаштар) математиктер (дал ушул себептен) гармоникалык катар деп атаган тизмектин удаалаш мүчөлөрүнүн катышы сыяктуу:
теориялык жактан чексиз сумма болуп саналат. Октаванын термелүүсүнүн катышын 2:4 деп жазып, алардын ортосуна бештен бир бөлүгүн коюуга болот: 2:3:4, башкача айтканда октаваны бешинчи жана төртүнчү деп бөлөбүз. Бул математикада гармониялык сегментти бөлүү деп аталат:
Райс. 1. Музыкант үчүн: АВ октавасын бешинчи АСга бөлүү.Математик үчүн: Гармоникалык сегментация
Гармоникалык катар сыяктуу теориялык чексиз сумма жөнүндө (жогоруда) айтканда мен эмнени айткым келет? Көрсө, мындай сумма ар кандай чоң сан болушу мүмкүн, эң негизгиси биз көпкө кошобуз. Азыраак жана азыраак ингредиенттер бар, бирок алар дагы көп. Эмне басымдуулук кылат? Бул жерде биз математикалык анализдин чөйрөсүнө киребиз. Көрсө, ингредиенттер түгөнүп калат, бирок өтө тез эмес. Мен жетиштүү ингредиенттерди алуу менен, мен жыйынтыктай алам деп көрсөтөм:
өзүм билемдик менен чоң. "Мисалы" n = 1024 алалы. Сүрөттө көрсөтүлгөндөй сөздөрдү топтоп көрөлү:
Ар бир кашаада ар бир сөз мурункусунан чоңураак, албетте, өзүнө барабар акыркы сөздөн башкасы. Төмөнкү кашааларда бизде 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 жана 512 компоненттер бар; ар бир кашаадагы сумманын мааниси ½ чоңураак. Мунун баары 5½ ашык. Тагыраак эсептөөлөр бул сумма болжол менен 7,50918 экенин көрсөтөт. Көп эмес, бирок ар дайым, жана сиз n каалаган чоң алуу менен, мен каалаган сандан ашып кете аларын көрө аласыз. Бул укмуштуудай жай (мисалы, биз ингредиенттер менен биринчи онго киребиз), бирок чексиз өсүш ар дайым математиктерди кызыктырып келген.
Гармоникалык катар менен чексиздикке саякат
Бул жерде абдан олуттуу математика үчүн табышмак бар. Бизде тик бурчтуу блоктордун чексиз запасы бар (эмне деп айта алам, тик бурчтуу!) өлчөмдөрү менен, айталы, 4 × 2 × 1. Бир нечеден турган системаны карап көрөлү (боюнча). fig. 2 - төрт) блоктор, биринчиси узундугунун ½ бөлүгүнө, экинчиси жогорудан ¼ жана башкаларга, үчүнчүсү алтыдан бирине жантайтылып жайгаштырылат. Ооба, балким, аны чындап туруктуу кылуу үчүн, келгиле, биринчи кирпичти бир аз азыраак кыйшайлы. Эсептөө үчүн эч кандай мааниге ээ эмес.
Райс. 2. Тартуу борборун аныктоо
Биринчи эки блоктон турган фигура (жогорудан санаганда) В чекитинде симметрия борборуна ээ болгондуктан, В тартылуу борбору экенин түшүнүү да оңой. Үч үстүңкү блоктон турган системанын оордук борборун геометриялык түрдө аныктайлы. Бул жерде абдан жөнөкөй аргумент жетиштүү. Үч блоктон турган композицияны акыл-эсибиз менен эки жогорку, үчүнчүсү төмөнкү деп бөлөлү. Бул борбор эки бөлүктүн оордук борборлорун бириктирген бөлүмдө жатышы керек. Бул эпизод кайсы учурда?
Белгилөөнүн эки жолу бар. Биринчисинде биз бул борбор үч блоктуу пирамиданын ортосунда, б.а., экинчи, ортоңку блок менен кесилишкен түз сызыкта жатышы керек деген байкоону колдонобуз. Экинчи жол менен, биз эки үстүнкү блоктун жалпы массасы №3 блоктун (жогорку) көлөмүнөн эки эсе көп болгондуктан, бул бөлүктөгү тартылуу борбору борборго караганда В га эки эсе жакын болушу керек экенин түшүнөбүз. Үчүнчү блоктун S. Ошо сыяктуу эле, кийинки чекитти табабыз: үч блоктун табылган борборун төртүнчү блоктун S борбору менен байланыштырабыз. Бүт системанын борбору 2 бийиктикте жана сегментти 1ден 3кө бөлгөн чекитте (башкача айтканда, анын узундугунун ¾ бөлүгүнө) болот.
Биз бир аз ары жасай турган эсептөөлөр сүрөттө көрсөтүлгөн натыйжага алып келет. сүрөт 3. Төмөнкү блоктун оң четинен ырааттуу тартылуу борборлору төмөнкү жолдор менен алынып салынат:
Ошентип, пирамиданын оордук борборунун проекциясы дайыма базанын ичинде болот. Мунара кулабайт. Эми карап көрөлү fig. 3 жана бир азга, келгиле, үстүңкү бешинчи блокту негиз катары колдонолу (ачык түс менен белгиленген). Жогорку эңкейиш:
Ошентип, анын сол чети базанын оң четинен 1 алысыраак. Бул жерде кийинки селкинчек:
Эң чоң селкинчек деген эмне? Биз мурунтан эле билебиз! Эң улуу жок! Эң кичинекей блокторду алуу менен, сиз бир километрге чейин ашып кете аласыз - тилекке каршы, математикалык жактан гана: мынчалык көп блокторду курууга бүт Жер жетишсиз болмок!
Райс. 3. Көбүрөөк блокторду кошуңуз
Эми биз жогоруда калтырган эсептөөлөр. Биз бардык аралыктарды x огу боюнча "горизонталдуу" эсептейбиз, анткени мунун баары бар. А чекити (биринчи блоктун оордук борбору) оң четинен 1/2. В чекити (эки блоктук системанын борбору) экинчи блоктун оң четинен 1/4 аралыкта жайгашкан. Баштапкы чекит экинчи блоктун аягы болсун (эми биз үчүнчүгө өтөбүз). Мисалы, №3 блоктун оордук борбору кайда? Бул блоктун жарым узундугу, демек, ал биздин шилтеме чекиттен 1/2 + 1/4 = 3/4 болуп саналат. С чекити кайда? 3/4 жана 1/4 ортосундагы сегменттин үчтөн эки бөлүгүндө, башкача айтканда, мурунку чекитте, биз үчүнчү блоктун оң четине таяныч пунктун өзгөртүү. Үч блоктук системанын оордук борбору эми жаңы таяныч пунктунан алынып салынды жана башкалар. Тартуу борбору Cn n блоктон турган мунара базалык блоктун оң чети болгон көз ирмемдик таяныч чекитинен 1/2н алыстыкта жайгашкан, б.а. жогору жактан n-блок.
Кайталануучулардын катарлары айырмалангандыктан, биз кандайдыр бир чоң вариацияны ала алабыз. Бул иш жүзүндө ишке ашырылышы мүмкүнбү? Бул чексиз кирпич мунарага окшош - ал өз салмагынын астында эртеби-кечпи кулайт. Биздин схемада блокторду жайгаштыруудагы минималдуу так эместиктер (жана сериянын жарым-жартылай суммаларынын жай өсүшү) биз анча алыска бара албайбыз дегенди билдирет.
