Теңдемелер, коддор, шифрлер, математика жана поэзия

Михал Сзурек өзү жөнүндө мындай дейт: «1946-жылы туулган. Мен 1968-жылы Варшава университетин бүтүрүп, андан бери математика, информатика жана механика факультетинде иштеп келем. Илимий адистиги: алгебралык геометрия. Жакында мен вектордук таңгактар ​​менен алектенип жатам. Вектордук нур деген эмне? Ошентип, векторлор жип менен бекем байланышы керек жана бизде бир байлам бар. Физик досум Энтони Сим мени “Жаш техникке” кошулууга мажбурлады (ал менин гонорарымдан гонорар алышы керектигин мойнуна алат). Мен бир нече макала жаздым, анан калдым, 1978-жылдан баштап математика боюнча менин оюмду ай сайын окуй аласыз. Мен тоолорду жакшы көрөм, ашыкча салмактуу болгонума карабай басууга аракет кылам. Мен мугалимдер эң маанилүү деп эсептейм. Мен саясатчыларды кандай жолдор менен болбосун, алар качып кетпеши үчүн коопсуз жерде кармайт элем. Мен аны күнүнө бир жолу тамактандырдым. Тулектик бир Биглдин ити мага жагат.

Теңдеме математик үчүн код сыяктуу нерсе. Математиканын маңызы болгон теңдемелерди чечүү шифрленген текстти окуу. Теологдор буга XNUMX кылымдан бери көңүл бурушкан. Математиканы жакшы билген Иоанн Павел II өзүнүн насааттарында бир нече жолу жазып, айтып өткөн – тилекке каршы, фактылар менин эсимден өчүп калды.

Мектептин илиминде ал көрсөтүлөт Pythagoras тик бурчтуктагы кандайдыр бир көз карандылык жөнүндө теореманын автору катары. Ошентип, ал биздин евроборбордук философиянын бир бөлүгү болуп калды. Ал эми Пифагордун дагы көп эмгеги бар. Ал өзүнүн окуучуларына “бул дөбөнүн артында эмне бар?” дегенден баштап “дүйнөнү изилдөө” жоопкерчилигин жүктөгөн. жылдыздарды изилдөө алдында. Мына ушундан улам европалыктар байыркы цивилизацияларды “ачкан”, тескерисинче эмес.

Кээ бир окурмандар эсинде "Viète үлгүлөрүдагы"; Көптөгөн улгайган окурмандар бул терминдин өзүн мектептен жана болжол менен суроонун квадраттык теңдемелерде пайда болгонун эстешет. Бул үлгүлөр "идеологиялык" болуп саналат коддоо маалымат.

Таң калыштуу эмес: бир Франсуа Виетт (1540-1603) Генрих IV (Бурбон династиясынан чыккан биринчи француз королу, 1553-1610) ордосунда криптография менен алектенип, Франция менен болгон согушта британиялыктар колдонгон кодду бузууга жетишкен. Ошентип, ал Экинчи Дүйнөлүк Согуштун алдында немис Enigma шифрлөөчү машинасынын сырларын ачкан поляк математиктери (Мариан Режевски жетектеген) сыяктуу эле ролду ойногон.

Мода темасы

Так. Темасы "коддор жана шифрлер" окутууда эчак мода болуп калды. Бул тууралуу буга чейин бир нече жолу жазгам, эки айдан кийин дагы бир эпизод болот. Бул жолу мен 1920-жылдагы согуш тууралуу тасманын таасири менен жазып жатам, ал жерде жеңиш көбүнчө большевиктик аскерлердин кодексин ошол кездеги жаштар жетектеген команданын бузулушуна байланыштуу болгон. Вацлав Сиерпински (1882-1969). Жок, бул табышмак эмес, бул жөн гана киришүү. Тасмадагы Юзеф Пилсудски (Даниил Олбрычски ойногон) шифрлөө бөлүмүнүн башчысына мындай дегени эсимде:

Шифрленген билдирүүлөр маанилүү кабарды камтыды: Тухачевскийдин аскерлери колдоо албайт. Сиз кол сала аласыз!

Мен Вацлав Сиерпинскини билчүмүн (эгер айта турган болсом: мен жаш студент болчумун, ал атактуу профессор болчу), анын лекцияларына жана семинарларына катышчу. Ал тиги дүйнөнү көрбөгөн, дисциплинасы менен алек, соолуп калган илимпоздой элес калтырды. Ал аудиторияны карап эмес, тактайга карап, атайын лекция окуду... бирок өзүн мыкты адис катары сезди. Тигил же бул, ал белгилүү бир математикалык жөндөмдүүлүктөргө ээ болгон - мисалы, маселелерди чечүү үчүн. Башкалары да бар - табышмактарды чечүүдө салыштырмалуу начар, бирок бүткүл теорияны терең түшүнгөн жана чыгармачылыктын бүтүндөй тармактарын баштоого жөндөмдүү илимпоздор. Бизге экөө тең керек, бирок биринчиси ылдамыраак кыймылдайт.

Вацлав Сиерпински 1920-жылдагы жетишкендиктери жөнүндө эч качан айткан эмес. 1939-жылга чейин бул сөзсүз түрдө жашыруун болушу керек болчу, ал эми 1945-жылдан кийин Советтик Орусия менен согушкандар ошол кездеги бийликтин боорукерлигине ээ болгон эмес. Окумуштуулар армия сыяктуу керек деген менин ишенимим далилденди: "болсо да". Бул жерде президент Рузвельт Эйнштейнди чакырып жатат:

Орустун көрүнүктүү математиги Игорь Арнольд согуштун математика менен физиканын өнүгүшүнө чоң таасир тийгизгенин ачык жана кайгылуу айткан (радар менен GPS да аскердик жактан келип чыккан). Мен атомдук бомбаны колдонуунун моралдык аспектисине кирбейм: бул жерде согуштун бир жылга узартылышы жана биздин бир нече миллион жоокерлердин өлүмү – бейкүнөө жарандардын азап чегип жатканы.

***

Мен тааныш жерлерге качып кеттим - к.. Бизде көбүбүз коддор менен ойнодук, балким чалгындоодо, балким ушуга окшош. Тамгаларды башка тамгалар же башка сандар менен алмаштыруу принцибине негизделген жөнөкөй шифрлер, адатта, бузулат - эгерде биз бир нече гана илинчектерди кармасак (мисалы, биз падышанын атын болжолдойбуз). Бүгүнкү күндө статистикалык талдоо да жардам берет. Баары өзгөрүп турганда, андан да жаман. Бирок эң жаманы – мыйзам ченемдүүлүк жок болгондо. «Жакшы солдат Швейктин жоруктары» китебинде сүрөттөлгөн кодду карап көрөлү. Мисалы, «Топон» деген китепти алалы. Бул жерде биринчи жана экинчи беттердеги сунуштар бар.

Биз "CAT" деген сөздү коддоону каалайбыз. 1-бетти жана ага жакын экинчи бетти ачыңыз. 1-бетте К тамгасы биринчи жолу 59-орунда кездешкенин көрөбүз. Элүү тогузунчу сөздү карама-каршы, башка жагынан табабыз. Бул "а" деген сөз. Эми О тамгасы сол жактагы 16-сөз, ал эми оң жактагы он алтынчы "мистер". Т тамгасы туура санасам 95-орунда, оңдон токсон бешинчи сөз "о". Ошентип, КАТ = 1 Теңир О.

Шифрлөө үчүн да, болжолдоо үчүн да жайыраак болсо да, "болжолдуу" шифр. Биз M тамгасын өткөргүбүз келет дейли. Аны "Володыжовский" деген сөз менен коддогонубузду текшере алабыз. А бизден кийин алар абак камерасын даярдап жатышат. Биз алмаштырууга гана ишене алабыз! Кошумчалай кетсек, контрчалгындоо жашыруун агенттердин билдирүүлөрүнө караганда, бир нече убакыттан бери кардарлар "Топондун" биринчи томун даярдуулук менен сатып алып жатышат.

Менин макалам бул диссертацияга салым болуп саналат: математиктердин эң таң калыштуу идеялары да кеңири түшүнүктүү практикада колдонулушу мүмкүн. Мисалы, 47ге бөлүнүү сыноосуна караганда анча пайдалуу эмес математикалык ачылышты элестетүү мүмкүнбү?

Бул жашоодо бизге качан керек болот? А эгер ошондой болсо, аны бөлүүгө аракет кылуу оңой болот. Бөлүнсө – жакшы, болбосо – анда... экинчи даражадагы жакшылык (бөлүнбөй турганын билебиз).

Кантип бөлүшүү керек жана эмне үчүн

Бул кириш сөздөн кийин, келгиле, төмөнкүгө өтөлү: Сиз, окурмандар, бөлүнүүнүн кандайдыр бир белгилерин билесизби? Сөзсүз. Жуп сандар 2, 4, 6, 8 же нөл менен аяктайт. Сан үчкө бөлүнөт, эгерде анын цифраларынын суммасы үчкө бөлүнсө. Ушундай эле тогузга бөлүнүү белгиси менен - ​​цифралардын суммасы тогузга бөлүнүшү керек.

Кимге керек? Мен Окурманды анын мектептеги жумуштан башка нерсеге жакшы экенине ынандырсам, калп айткан болом. Ооба, ошондой эле 4кө бөлүнүү өзгөчөлүгү (бул эмне, Окурман? Балким, кийинки Олимпиада кайсы жылга туура келерин билгиң келгенде колдоносуң...). Бирок 47ге бөлүнүү өзгөчөлүгү жөнүндө эмне айтууга болот? Бул ансыз деле баш оору. Биз качандыр бир нерсе 47ге бөлүнөөрүн билебизби? Ооба болсо, анда калькуляторду алып карап көрөлү.

Бул. Туура айтасыз, Окурман. Ошентсе да, окугула. Өтүнөмүн.

47ге бөлүнүүнүн далили: 100+ саны 47ге бөлүнөт, эгерде 47 +8ге бөлүнсө гана.

Математик канааттануу менен жылмайып: "Гэй, сулуу". Бирок математика бул математика. Далил маанилүү, биз анын кооздугуна көңүл бурабыз. Биздин сапатыбызды кантип далилдей алабыз? Бул абдан жөнөкөй. 100дөн + 94 – 47 = 47 (2 -) санын кемитүү. Биз 100+-94+47=6+48=6(+8) алабыз.

Биз 47ге бөлүнүүчү санды кемиттик, демек, 6 (+ 8) 47ге бөлүнсө, 100 + да ошондой болот. Бирок 6 саны 47ге тең, бул 6 (+ 8) 47ге бөлүнөт, эгерде ал + 8ге барабар болсо гана. Далилдөөнүн аягы.

карап көрөлү Кээ бир мисалдар.

8805685 47ге бөлүнөт? Эгер биз буга чындап кызыксак, биз башталгыч класста окутулгандай, жөн эле бөлүү менен эрте билебиз. Тигил же бул, азыр ар бир уюлдук телефондо калькулятор бар. Бөлүндүбү? Ооба, жеке 187355.

Келгиле, бөлүнүүчүлүктүн белгиси эмнени айтып жатканын карап көрөлү. Биз акыркы эки цифраны ажыратып, аларды 8ге көбөйтүп, натыйжаны "кесилген санга" кошуп, алынган сан менен да ушундай кылабыз.

8805685 → 88056 + 8·85 = 88736 → 887 + 8·36 = 1175 → 11 + 8·75 = 611 → 6 + 8·11 = 94.

94 саны 47ге бөлүнөөрүн көрөбүз (бөлүштүрүү 2), бул баштапкы сан бөлүнүүчү дегенди билдирет. Абдан жакшы. Бирок көңүл ача берсекчи?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Эми биз токтошубуз керек. Кырк жети 47ге бөлүнөт, туурабы?

Биз чындап эле токтошубуз керекпи? Андан ары барсакчы? Оо Кудайым, баары болушу мүмкүн... Мен майда-чүйдөсүнө чейин өткөрүп жиберем. Балким башталышы гана:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Бирок, тилекке каршы, үрөндү чайнагандай эле көз каранды...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ах, кырк жети. Бул мурун болгон. Кийинкиси эмне? . Ушундай эле. Сандар циклде мындай болот:

Бул чындыгында кызыктуу. Бул циклдердин саны.

эки төмөнкү мисалдар.

Биз 10017627 саны 47ге бөлүнөрүн билгибиз келет. Бул билим бизге эмне үчүн керек? Биз принципти эстейбиз: билгенге жардам бербеген билимдин шору. Билим ар дайым бир нерсе үчүн бар. Бул бир нерсе үчүн болот, бирок азыр мен өзүмдү түшүндүрбөйм. Дагы бир нече аккаунттар:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

«Агасын балтадан таякка алмаштырды». Мунун баарынан эмне алабыз?

Мейли, процессти кайталайлы. Башкача айтканда, биз муну улантабыз (башкача айтканда, "итерация" деген сөз).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Келгиле, оюнду токтотуп, мектептегидей бөлөлү (же калькулятордо): 235 = 5 47. Бинго. 10017627 баштапкы саны 47ге бөлүнөт.

Браво бизге!

Андан ары барсакчы? Мага ишениңиз, текшере аласыз.

Жана дагы бир кызыктуу факт. Биз 799 саны 47ге бөлүнөөрүн текшергибиз келет. Бөлүнүү функциясын колдонобуз. Акыркы эки цифраны ажыратып, алынган санды 8ге көбөйтүп, калганын кошобуз:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Бизде эмне бар? 799 саны 47ге бөлүнөт, эгерде 799 47ге бөлүнсө гана? Ооба, баары туура, бирок бул үчүн эч кандай математиканын кереги жок!!! Май майлуу (жок дегенде бул май майлуу).

Жалбырак, каракчылар жана тамашалардын аягы жөнүндө!

Дагы эки мисал. Жалбыракты жашыруу үчүн эң жакшы жер кайда? Жооп айкын: токойдо! Бирок аны кийин кантип тапса болот?

Экинчисин биз илгертен окуган каракчылар жөнүндөгү китептерден билебиз. Каракчылар казынаны көмгөн жердин картасын жасашкан. Башкалары аны же уурдап, же согушта жеңип алышкан. Бирок картада ал кайсы арал үчүн экени көрсөтүлгөн эмес. Анан өзүңдү изде! Албетте, каракчылар муну (кыйноо) менен жеңип чыгышты - мен айтып жаткан шифрлерди ушул ыкмалар менен да чыгарса болот.

Мындан ары тамаша жок. Окурман! Биз шифр түзөбүз. Мен жашыруун шпионмун жана "Жаш техникти" байланыш кутучасы катары колдоном. Мага шифрленген билдирүүлөрдү төмөнкүдөй жөнөтүңүз.

Алгач текстти кодду колдонуп сандар сапка айландырыңыз: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Көрүнүп тургандай, биз поляк диакритикасын колдонбойбуз (б.а. ą, ę, ć, ń, ó, ś жок) жана поляк эмес q, v - бирок поляк эмес х бардык учурда гана калды. Боштук катары дагы 25ти киргизели (сөздөрдүн ортосундагы боштук). О, эң негизгиси. Сураныч, №47 кодду колдонуңуз.

Бул эмнени билдирерин билесиз. Сен математик досуңа барасың.

Курбунун көздөрү таң калганынан жайнап кетти.

Сиз сыймыктануу менен жооп бересиз:

Математик сизге бул касиетти берет... жана сиз шифрлөө көрүнбөгөн функцияны колдоноорун билесиз

анткени мындай үлгү сүрөттөлгөн аракет

100 + → + 8.

Ошентип, сиз шифрленген билдирүүдө 77777777 сыяктуу сан эмнени билдирерин билгиңиз келсе, функцияны колдоносуз.

100 + → + 8

1ден 25ке чейинки санды алганга чейин. Эми ачык тамга-сандык кодду караңыз. Карап көрөлү: 77777777 →... Муну сизге тапшырма катары калтырам. Бирок көрөлү, 48 деген тамга эмнени жашырат? Келгиле окуйлу:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Андан кийин биз кезекке келебиз:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Эч кандай аягы көрүнбөйт. Алтымышынчы (!) убакыттан кийин гана 25тен аз сан чыгат. Бул 3, бул 48 С тамгасы дегенди билдирет.

Жана бул кабар бизге эмне берет? (Мен 47 кодду колдоно турганыбызды эскертип кетким келет):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Ооба, ойлонуп көр, бул жерде эмне татаал, кээ бир мыйзам долбоорлору. Биз баштадык. 80-жылдардын башында белгилүү эреже:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Ал мындайча уланат:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Же! Билдирүүнүн биринчи тамгасы K. Phew, жеңил, бирок ал канча убакытты алат?

Келгиле, 1234567 саны менен канча кыйынчылык туудурганын карап көрөлү. Он алтынчы жолу гана 25тен, тактап айтканда 12ден аз санды алабыз. Демек, 1234567 L.

Макул, кээ бирөөлөр айтышы мүмкүн, бирок бул арифметикалык операция ушунчалык жөнөкөй болгондуктан, аны компьютерде программалоо кодду дароо бузуп салат. Ооба бул чындык. Бул жөнөкөй компьютердик эсептөөлөр. менен идея коомдук шифр жана ошондой эле компьютер үчүн эсептөөлөрдү кыйындатуу жөнүндө. Жок дегенде жүз жыл иштесин. Ал билдирүүнү чечмелейби? Маанилүү эмес. Бул көп убакытка чейин маанилүү эмес. Бул (аздыр-көптүр) коомдук шифрлер жөнүндө. Эгер сиз абдан узак убакыт бою иштесеңиз, алар бузулушу мүмкүн ... жаңылыктар актуалдуу болбой калганга чейин.

 ал ар дайым «куралга каршы» пайда болгон. Мунун баары кылыч жана калкан менен башталды. Жашыруун кызматтар таланттуу математиктерге XNUMX кылымда компьютерлер (анын ичинде биз түзгөндөр да) сындыра албай турган шифрлөө ыкмаларын ойлоп табуу үчүн чоң суммадагы акча төлөшөт.

Жыйырма экинчи кылым? Дүйнөдө бул керемет кылымда жашай турган көптөгөн адамдар бар экенин билүү анчалык деле кыйын эмес!

ооба? Эгер мен (мен, “Жаш техник” менен байланышкан Жашыруун офицер) 23 коддуу шифрлөө үчүн сурасамчы? Же 17? Жөнөкөй:

Математиканы мындай максаттарга эч качан колдонбойбуз.

***

Поэзия жөнүндөгү макаланын аталышы. Ал эмне үчүн кам көрүшү керек?

Эмне сыяктуу? Поэзия да дүйнөнү шифрлейт.

Кандай?

Өзүнүн ыкмалары менен - ​​алгебралык ыкмаларга окшош.